HL
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VT
0
2 tháng 6 2017
Câu 2: \(\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)^2=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2+6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(\left(\frac{xy}{z}\right)^2+\left(\frac{yz}{x}\right)^2+\left(\frac{xz}{y}\right)^2\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{xy}{z}\right)^2\left(\frac{yz}{x}\right)^2\left(\frac{xy}{y}\right)^2}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^2}}=3\)\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge\sqrt{3+6}=3\left(dpcm\right)\)
DD
3 tháng 6 2017
tại sao lại suy ra đc \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xyz\right)^4}{\left(xyz\right)^{^2}}}=3\) vậy cậu?
TM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 5 2019
Lời giải:
Đặt \(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)
\(P=a+1-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+b+1-\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+c+1-\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\)
\(=(a+b+c+3)-\left(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\leq \frac{b^2(a+1)}{2b}+\frac{c^2(b+1)}{2c}+\frac{a^2(c+1)}{2a}=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c+6}{2}-\frac{ab+bc+ac}{2}\)
Mà: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c+6}{2}-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 5 2019
@Trần Minh Lộc: lần sau bạn lưu ý gõ đề bài bằng công thức toán.
HN
2
CT
17 tháng 4 2019
trả lời
bn ơi có thiếu đề ko vậy bn
mik làm thấy.. ib riêng nhaa
Mr Lazy sai chỗ dấu "=" rồi nha! a + b + c = 3 thì sao lại ghi : "Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3" được???
Giải
Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz,ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c =1
Cách 2: Theo BĐT cô si,ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (2)
Nhân theo vế của (1) và (2),ta được: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c =1
Ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 4-1 = 3.