Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(2x+\sqrt{5-x^2})^2\leq (x^2+5-x^2)(2^2+1)=25\)
\(\Rightarrow A\leq 5\)
Vậy \(A_{\max}=5\Leftrightarrow x=2\)
Tìm min:
ĐKXĐ: \(5-x^2\geq 0\Leftrightarrow -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}\)
Do đó : \(A=2x+\sqrt{5-x^2}\geq 2x\geq -2\sqrt{5}\)
Vậy \(A_{\min}=-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=-\sqrt{5}\)
Bài 2 bạn xem xem có viết nhầm đề bài không nhé.
\(A=\frac{3a}{2a-b}+\frac{3c}{2c-b}-2\)
Chỉ cần cho $b$ càng nhỏ thì giá trị của $A$ càng nhỏ rồi, mà lại không có điều kiện gì của $b$ ?
Giải :
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\dfrac{1}{a^5}+\dfrac{1}{b^5}+1+1+1\ge\dfrac{5}{ab}\left(1\right)\\ \dfrac{1}{b^5}+\dfrac{1}{c^5}+1+1+1\ge\dfrac{5}{bc}\left(2\right)\\ \dfrac{1}{c^5}+\dfrac{1}{a^5}+1+1+1\ge\dfrac{5}{ca}\left(3\right)\)
\(Từ\left(1\right),\left(2\right)và\left(3\right),cộng\)\(vế\) \(theo\) \(vế\) \(ta\) \(có\) :
\(2P+9\ge5\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=5.\dfrac{c+a+b}{abc}=5.\dfrac{3abc}{abc}=15\)
\(\Rightarrow2P\ge6\\ \Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3abc\\\dfrac{1}{a^5}=\dfrac{1}{b^5}=\dfrac{1}{c^5}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(Min_P=3\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Một cách sử dụng AM-GM khác?
\(\frac{1}{a^5}+1+1+1+1\ge5\sqrt[5]{\frac{1}{a^5}}=\frac{5}{a}\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(P+12\ge5\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)
\(\ge5\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}=5\sqrt{3.\frac{a+b+c}{abc}}=15\)
Hay \(P\ge15-12=3\)
Đẳng thức xảy r a khi a = b = c = 1.
P/s: Em hóng lên 200 GP môn toán quá:( còn 16 gp nữa...
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(M^2=(a\sqrt{9b(a+8b)}+b\sqrt{9a(b+8a)})^2\)
\(\leq (a^2+b^2)(9ab+72b^2+9ab+72a^2)\)
\(\Leftrightarrow M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+18ab)\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 18ab\leq 9(a^2+b^2)\)
Do đó, \(M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+9a^2+9b^2)=81(a^2+b^2)^2\)
\(\Leftrightarrow M\leq 9(a^2+b^2)\leq 144\)
Vậy \(M_{\max}=144\Leftrightarrow a=b=\sqrt{8}\)
Bài 6:
\(a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\)
Vì \(a>1\rightarrow a-1>0\). Do đó áp dụng BĐT Am-Gm cho số dương\(a-1,\frac{1}{a-1}\) ta có:
\((a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}=2\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a-1=1\Leftrightarrow a=2\)
Bài 3:
Xét \(\sqrt{a^2+1}\). Vì \(ab+bc+ac=1\) nên:
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+1}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM có: \(\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}\)
hay \(\sqrt{a^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}\)
Hoàn toàn tương tự với các biểu thức còn lại và cộng theo vế:
\(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}+\frac{2b+a+c}{2}+\frac{2c+a+b}{2}=2(a+b+c)\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Bài 4:
Ta có:
\(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2\)
\(\Leftrightarrow A+\frac{1}{4}=2a+\frac{b+a}{4a}+b^2=2a+b+\frac{b+a}{4a}+b^2-b\)
Vì \(a+b\geq 1, a>0\) nên \(A+\frac{1}{4}\geq a+1+\frac{1}{4a}+b^2-b\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+\frac{1}{4a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\Rightarrow A+\frac{1}{4}\geq 2+b^2-b=\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\geq \frac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{3}{2}\).
Vậy \(A_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Ta đi chứng minh BĐT : \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(bc+ac-ab\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b-c\right)^2\ge0\) luôn đúng.
\(\Rightarrow2\left(bc+ac-ab\right)\le\dfrac{5}{3}\)
\(\Leftrightarrow bc+ac-ab\le\dfrac{5}{6}< 1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{abc}\)
Mình nghĩ đề bị sai bạn ạ, bạn xem lại giùm mình nhé