BM
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
BM
0
4 tháng 7 2021
\(S=\left(1+\dfrac{2a}{3b}\right)\left(1+\dfrac{2b}{3c}\right)\left(1+\dfrac{2c}{3d}\right)\left(1+\dfrac{2d}{3a}\right)\)
có \(1+\dfrac{2a}{3b}\ge2\sqrt{\dfrac{2a}{3b}}\)(BDT AM-GM)
\(=>1+\dfrac{2b}{3c}\ge2\sqrt{\dfrac{2b}{3c}}\)
\(=>1+\dfrac{2c}{3d}\ge2\sqrt{\dfrac{2c}{3d}}\)
\(=>1+\dfrac{2d}{3a}\ge2\sqrt{\dfrac{2d}{3a}}\)
\(=>S\ge16\sqrt{\dfrac{2a.2b.2c.2d}{3a.3b.3c.3d}}=16\sqrt{\dfrac{16abcd}{81abcd}}=16\sqrt{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{64}{9}\)
12 tháng 11 2017
Cho mình hỏi, phân thức cuối cùng của câu a phải là \(\frac{1}{c+2a+b}\)chứ
HP
5 tháng 3 2018
từ giả thiết ab+bc+ca = 3abc\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
ta có \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{a+c+b+c+b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
tương tự ta cũng có\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2a+3b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right)\\\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)\end{cases}}\)
cộng theo vế \(\Rightarrow VT\le\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}\)
\("="\)khi a=b=c=....
hic :( tự đăng rồi tự giải ra luôn :((( sorry mn
TN
29 tháng 9 2017
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\ge\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{2a+b+c}\ge\frac{2}{a+b+2c};\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{2a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+3b}\)
\(\ge\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}=VP\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 11 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{b+c+c+a+c+a}=\frac{9}{3c+2a+b}\)
\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{9}{a+c+a+b+a+b}=\frac{9}{3a+2b+c}\)
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{9}{a+b+b+c+b+c}=\frac{9}{3b+2c+a}\)
Cộng theo vế rồi rút gọn ta thu được
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\geq 3\left(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\right)\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$