K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 3 2023
Ta có:
\(ab+bc+ca\le\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+3}}\le\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+3}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}\right)\) ; \(\dfrac{c}{\sqrt{c^2+3}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 8 2021
\(P^2=\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(a-c\right)^2\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(b-c\right)^2\le b^2\\\left(a-c\right)^2\le a^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P^2\le\left(a-b\right)^2a^2b^2=\dfrac{1}{4}\left(a^2-2ab+b^2\right).\left(2ab\right).\left(2ab\right)\le\dfrac{1}{108}\left(a^2-2ab+b^2+2ab+2ab\right)^3\)
\(\Rightarrow P^2\le\dfrac{1}{108}\left(a+b\right)^6\le\dfrac{1}{108}\left(a+b+c\right)^6=\dfrac{27}{4}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{2};\dfrac{3+\sqrt{3}}{2};0\right)\) và các hoán vị
TN
6 tháng 1 2020
\(P=\text{∑}\frac{a\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}{\left(a^3+b^2+c\right)\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}\le\frac{\text{∑}\left(1+a+ac\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\le\frac{3+a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\le\frac{3+3+\frac{3^2}{3}}{3^2}=1\)
"=" khi a=b=c=1
MH
1
5 tháng 3 2020
1
\(a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le a\cdot\frac{b+1+b^2-b+1}{2}=\frac{ab^2}{2}+1\)
Tương tự ta có:\(P\le3+\frac{1}{2}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
Giả sử b nằm giữa a và c
Ta có:
\(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Leftrightarrow b^2-bc-ab+ac\le0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)
\(\Leftrightarrow ab^2+a^2c\le a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+bc^2+abc\)
\(\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=b\left(3-b\right)^2\)
Ta chứng minh \(b\left(3-b\right)^2\le4\) dể chứng minh
Khi đó:\(P\le3+\frac{4}{2}=5\)
Dấu "=" xảy ra tại a=0;b=1;c=2 và các hoán vị
2
Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)
\(\Rightarrow a=\frac{x+y}{2};b=\frac{y+z}{2};c=\frac{z+x}{2}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:\(xyz\le\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{8}\) ( đúng theo bđt cô si )
P/S:a,b,c không là độ dài 3 cạnh tam giác vẫn đúng theo BĐT Schur
5 tháng 3 2020
Bài 1: em làm không đúng rồi và cô không hiểu ý tưởng làm bài của em nhưng có mấy lỗi cơ bản:
Sai dòng thứ nhất \(\frac{ab^2}{2}+a\)
Dấu bằng xảy ra cũng sai. Dòng thứ 6 em nhân cả hai vế cho a mà dấu bằng a = 0 . vô lí
Dòng thứ 5 ( b - a ) ( b - c ) <= 0 thì dấu bằng xảy ra a = b hoặc b = c chứ
Dòng thứ 8 => sau đó làm thế nào.
7 tháng 2 2020
theo bđt cauchy-schwarz ta có \(P\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{9}{3+2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
Mà\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3=3abc}\)\(\Rightarrow P\ge\frac{9}{3+2\cdot3abc}=\frac{9}{3+6}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(P_{max}=1\Leftrightarrow a=b=c=1\)
7 tháng 2 2020
Sorry mình viết nhầm nha \(3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)mới đúng nha