Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có: \(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}.\frac{1+b}{8}.\frac{1+c}{8}}=\frac{3}{4}a\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{3a}{4}-\frac{b+c}{8}-\frac{1}{4}\)Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{3b}{4}-\frac{c+a}{8}-\frac{1}{4}\); \(\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3c}{4}-\frac{a+b}{8}-\frac{1}{4}\)
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Xét vế trái: Bạn nhân cả tử và mẫu với lần lượt là b^2.c^2; c^2.a^2; a^2.b^2
=> cái mẫu thành lần lượt là a(b+c); b(c+a); c(a+b) do abc=1=> a^2.b^2.c^2=1 và tử lần lượt là b^2.c^2; c^2.a^2; a^2.b^2
xong áp dụng cauchy schwarz thôi => vế trái >= (ab+bc+ca)^2/2(ab+bc+ca)=(ab+bc+ca)/2=(ab+bc+ca)/2abc=1/2a+1/2b+1/2c
=> ĐPCM.
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{b^2c^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{a^2c^2}{b\left(a+c\right)}+\frac{a^2b^2}{c\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+ac+bc\right)}\ge\frac{\left(bc+ac+ab\right)}{2}\)
\(=\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2}+\frac{ab}{2}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a =b = c.
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}=\frac{c^2}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a^2}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2}{2abc}\)
Áp dụng BĐT Bun :
\(\frac{c^2}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a^2}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{\left(\sqrt[3]{abc}\right)^2}{2abc}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{c^2\left(a+b\right)+a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+2abc}=...\)
Dấu ''='' xảy ra khi a = b =c
Bạn xem lời giải ở đây nhé https://olm.vn/hoi-dap/question/960694.html
Đặt P = 1/a³(b + c) + 1/b³(a + c) +1/c³(a + b)
= bc/a²(b + c) + ac/b²(a + c) + ab/c²(a + b) ------- (do abc = 1)
= 1 / a²[(1/c) + (1/b)] + 1 / b²[(1/c) + (1/a)] + 1 / c²[(1/b) + (1/a)]
= (1/a²) / [(1/c) + (1/b)] + (1/b²) / [(1/c) + (1/a)] + (1/c²) / [(1/b) + (1/a)]
Đặt 1/a = x, 1/b = y, 1/c = z thì xyz = 1
Và khi đó:
P = x²/(y + z) + y²/(z + x) + z²/(x + y)
Sử dụng BĐT Cauchy:
♠ x²/(y + z) + (y + z)/4 ≥ x
♠ y²/(z + x) + (z + x)/4 ≥ y
♠ z²/(x + y) + (x + y)/4 ≥ z
Cộng vế 3 BĐT trên ta được
P + (x + y + z)/2 ≥ x + y + z
Hay:
P ≥ (x + y + z)/2
Lại theo Cauchy thì x + y + z ≥ 3.³√(xyz) = 3
Nên P ≥ 3/2 (và ta được đpcm)
https://olm.vn/hoi-dap/question/1036432.html
vào đây xem nhé,cách ngắn hơn
g12hg5221hjoplj./k';ll;