PM
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
1 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{ab}{6+a-c}=\frac{ab}{a+b+c+a-c}=\frac{ab}{2a+b}\)
\(=\frac{ab}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a}+\frac{ab}{a}+\frac{ab}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(2b+a\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{bc}{6+b-a}\le\frac{1}{9}\left(2c+b\right);\frac{ca}{6+c-b}\le\frac{1}{9}\left(2a+c\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{1}{9}\cdot3\left(a+b+c\right)=\frac{1}{3}\cdot\left(a+b+c\right)=\frac{6}{3}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)
20 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT cho 2 số dương:
\(\frac{1}{\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Xét: c + 1 = c + a + b + c
\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}\le\frac{ab}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+c\right)}\right]\)
Tương tự:
\(\frac{bc}{\left(a+1\right)}\le\frac{bc}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+a\right)}\right]\)
\(\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{ac}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+b\right)}+\frac{1}{\left(c+b\right)}\right]\)
Cộng lại:
\(\frac{ac}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{1}{4}\left\{\frac{ab}{\left(a+c\right)}+\frac{ab}{\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)}\right\}\)
Cộng lại + rút gọn mẫu số
\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi a = b = c
P/s: Sai đâu bạn sửa nhé!
TN
6 tháng 4 2017
Ta có BĐT quen thuộc
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow ab+bc+ca\le7\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta lại có:
\(\left(a+b+c\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le21\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{21}\left(2\right)\)
Cộng theo vế 2 BĐT \(\left(1\right);\left(2\right)\) ta có:
\(ab+bc+ca+a+b+c\le7+\sqrt{21}< 7+\sqrt{25}=12\) (ĐPCM)
LM
5 tháng 10 2017
Xét \(P=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)^2\)
\(P=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+6\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\ge2\sqrt{b^4}=2b^2\)
Tương tự, ta có: \(P=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+6\ge a^2+b^2+c^2+6=9\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
26 tháng 1 2021
\(a+b+c=7\Rightarrow a+b+c-1=6\)
Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow49=23+2\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow ab+bc+ca=13\)
Lại có \(ab+c-6=ab+c-\left(a+b+c-1\right)=ab-a-b+1=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\)
Tương tự \(bc+a-6=\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
\(ca+b-6=\left(c-1\right)\left(a-1\right)\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+\frac{1}{\left(b-1\right)\left(c-1\right)}+\frac{1}{\left(c-1\right)\left(a-1\right)}\)
\(=\frac{c-1+a-1+b-1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)}=\frac{a+b+c-3}{abc-\left(ab+ac+bc\right)+\left(a+b+c\right)-1}\)
\(=\frac{7-3}{3-13+7-1}=-1\)