Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề: Chứng minh: \(2\le\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}+ab+bc+ca\le4\)
Đặt \(a+b+c=3u;ab+bc+ca=3v^2\)
\(\Rightarrow3\left(9u^2-6v^2\right)+3v^2=12\Rightarrow9u^2-6v^2+v^2=4\) (1)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9u^2-6v^2=4-v^2\). Mặt khác từ (1) ta cũng suy ra:
\(\left(3u\right)^2=9u^2=4+5v^2\Rightarrow a+b+c=3u=\sqrt{4+5v^2}\)
Từ giả thiết ta có: \(12=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\ge4\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3v^2=ab+bc+ca\le3\Rightarrow0\le v\le1\) (vì \(v=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\ge0\)..)
Vì vậy ta cần chứng minh: \(2\le f\left(v\right)=\frac{4-v^2}{\sqrt{4+5v^2}}+3v^2\le4\) với \(0\le v\le1\)
Dễ thấy hàm số này đồng biến vì vậy f(v) đạt min tại v = 0 tức \(f\left(v\right)_{min}=2\)
Đạt Max tại v = 1 tức \(f\left(v\right)_{max}=4\)
Ta có đpcm.
P/s: Em mới học BĐT nên không chắc đâu, nhất là khúc mà em in đậm ấy.
Sử dụng BDT Cauchy dễ dàng CM được: \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2=3\)
->\(a+b+c\ge3\)(1)
Tiếp tục sử dụng BDT Cauchy CM được:\(a^2+b^2+c^2+3\ge2a+2b+2c\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3\ge a+b+c\)(2)
Từ (1),(2) -> a+b+c=3. Dấu = xảy ra khi a=b=c=1. Thay vào ta tính được B=1
a, b, c là số thực sao có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy đc???
Em tham khảo bài làm : Câu hỏi của Cao Chi Hieu - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)
=>3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
=> a=b=c=2
Còn lại tự làm ok chứ
\(a+b+c=6\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=36\)
\(\Leftrightarrow12+2\left(ab+bc+ca\right)=36\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=12\)
Do đó \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Có \(VT\ge0\forall x;y;z\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà \(a+b+c=6\Leftrightarrow a=b=c=2\)
\(P=3\cdot\left(2-3\right)^{2013}\)
\(P=3\cdot\left(-1\right)\)
\(P=-3\)
Vậy....
Ta có:
\(a+b+c+ab+bc+ca=6\)
\(\Leftrightarrow12-\left(2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3-\left(2a+2b+2c+2ab+2bc+2ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=c=1\)
\(\Rightarrow Q=\frac{1^{22}+1^{12}+1^{1994}}{1^{22}+1^{12}+1^{2013}}=\frac{3}{3}=1\)
vào máy tính bấm sẽ ra đáp án = 1