Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
Do\(1\le a\le b\le c\le d\le4\)
\(\Rightarrow M=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ge\frac{1}{b}+\frac{b}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{b}.\frac{b}{4}}=1\) (AM-GM)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1;b=c=\frac{1}{2};d=4\)
đặt \(t=ab+bc+ca\)
\(=>t=ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)
mặt khác
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=>a^2+b^2+c^2=9-2\left(ab+bc+ca\right)\)
khi đó
\(P=\frac{9-2t}{t}\)(zới t nhỏ hơn hoặc = 3)
xét \(f\left(t\right)=\frac{9-2t}{t}\left(t\le3\right)\)
\(f'\left(t\right)=-\frac{9}{t^2}< 0\)
=> f(t) N Biến \(\left(-\infty,3\right)\)
min f(t)=f(3)=1
koo tồn tại max\(f\left(t\right)\)
zậy minP=1 khi a=b=c=1
\(P=\text{∑}\frac{a\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}{\left(a^3+b^2+c\right)\left(\frac{1}{a}+1+c\right)}\le\frac{\text{∑}\left(1+a+ac\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\le\frac{3+a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\le\frac{3+3+\frac{3^2}{3}}{3^2}=1\)
"=" khi a=b=c=1
Áp dụng BĐT Cô - Si cho 3 số dương \(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a}\)ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)
\(\Rightarrow P\ge3\)
dấu bằng sảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow a=b=c\)và \(2\le a,b,c\le4\)
GTLN là \(P\le\)