Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Đặt \(A=a^7+3b^7-2c\)
Ta có: \(\frac{5b+2c(4+c^6)}{a+b+c}=1\)
\(\Leftrightarrow 5b+2c(4+c^6)=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow 4b+7c+2c^7=a\)
----------------------------------------
Ta có bổ đề sau: Với mọi số tự nhiên $n$ nào đó thì \(n^7\equiv n\pmod 7\)
Chứng minh :
Thật vậy.
Với \(n\equiv 0\pmod 7\) thì \(n^7\equiv 0\equiv n\pmod 7\)
Với \(n\not\equiv 0\pmod 7\) hay \((n,7)=1\). Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có:
\(n^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow n^7\equiv n\pmod 7\)
Ta có đpcm.
--------------------
Quay trở lại bài toán:
Áp dụng bổ đề trên ta có:
\(A=a^7+3b^7-2c\equiv a+3b-2c^7\pmod 7\)
\(\Leftrightarrow A\equiv 4b+7c+2c^7+3b-2c^7\pmod 7\)
\(\Leftrightarrow A\equiv 7b+7c\equiv 0\pmod 7\)
Hay \(A\vdots 7\)
Chứng minh hoàn tất.
b) \(\dfrac{1}{3a+2b+c}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{3}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Tương tự cho 2 cái kia rồi cộng lại
\(VT\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}.16=\dfrac{8}{3}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) ... \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{3}{16}\)
Áp dụng BĐt cô-si, ta có \(\frac{2\left(a+b\right)^2}{2a+3b}\ge\frac{8ab}{2a+3b}=\frac{8}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\)
\(\frac{\left(b+2c\right)^2}{2b+c}\ge\frac{8bc}{2b+c}=\frac{8}{\frac{2}{c}+\frac{1}{b}}\)
\(\frac{\left(2c+a\right)^2}{c+2a}\ge\frac{8ac}{c+2a}\ge\frac{8}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\)
Cộng 3 cái vào, ta có
A\(\ge8\left(\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}+\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{c}}\right)\ge8\left(\frac{9}{\frac{3}{b}+\frac{4}{c}+\frac{4}{a}}\right)=8.\frac{9}{3}=24\)
Vậy A min = 24
Neetkun ^^
Ta cần chứng minh nếu a,b,c đôi một khác nhau và a3+b3+c3=3abc thì a+b+c=0
Ta có: a3+b3+c3=3abc
<=> a3+b3+c3-3abc=0
<=> (a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=0
<=> (a+b+c)(a2+b2+c2+2ab-ca-bc)-3ab(a+b+c)=0
<=> (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=0
\(=>\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)
• a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
<=> 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
<=> (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0=> a=b=c
Mà a,b,c đôi một khác nhau nên vô lí
Do vậy nên a+b+c=0
Áp dụng bài toán chứng minh trên vào a3b3+b3c3+c3a3=3a2b2c2 ta có ab+bc+ca=0
\(=>\hept{\begin{cases}bc+ca=-ab\\ca+ab=-bc\\ab+bc=-ac\end{cases}=>\hept{\begin{cases}c\left(a+b\right)=-ab\\a\left(b+c\right)=-bc\\b\left(c+a\right)=-ac\end{cases}}}\)
Với a,b,c khác 0 ta có
\(A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}=\frac{c\left(a+b\right)}{bc}.\frac{a\left(b+c\right)}{ca}.\frac{b\left(c+a\right)}{ab}=\frac{-ab}{bc}.\frac{-bc}{ca}.\frac{-ca}{ab}=-1\)
Vậy A=-1
Dean thật, gõ gần xong rồi tự nhiên nó tạch, phải gõ lại -.-
Từ gt, ta suy ra:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right].\dfrac{1}{2}=0\)(Tự phân tích, không còn kiên nhẫn để gõ lại)
Mà a+b+c khác 0 => a=b=c
Thay vào thì C=8
bai 2 :
dat cac tich ab , bc , ca lan luot la x,y,z ( khac 0 )
thay vao ta dc : x^3+y^3+z^3=3xyz
=> (x+y)(x^2-2xy+y^2)+z^3-3xyz=0
=>(x+y)(x^2+2xy+y^2)+z^3-3xy(x+y)-3xyz=0
=》（x+y+z)【（x+y）^2 -(x+y)z+z^2】-3xy(x+y+z)=0
=>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0
=>\(\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]\)=0
=> x+y+z=0 hoac x=y=z
TH1 : a+b+c=0
=>P=-1
TH2 : a=b=c
=>P=8
\(ab;bc;ca \rightarrow x;yz\)\(\Rightarrow gt\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Can you finish it ?