Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(a< b+c\)
\(\Leftrightarrow2a< a+b+c=2\)
\(\Leftrightarrow a< 1\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}b< 1\\c< 1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-abc+ab+bc+ca-a-b-c+1>0\)
\(\Leftrightarrow abc< \left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\Leftrightarrow2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2+2=4-2=2\)
a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=1-2ab-2bc-2ca
((a^2+b^2+c^2)-1)/2abc=(1-2ab-2bc-2ca-1)/abc=-(1/a+1/b+1/c)
T=4/a+b +4/b+c +4/c+a<=1/a+1/b+1/b+1/c+1/c+1/a-1/a-1/b-1/c=1/a+1/b+1/c<=9
Dấu = khi a=b=c=1/3
a/ Ta có:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}\le a\left(2\right)\\\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\le c\left(3\right)\end{cases}}\)
Lấy (1), (2), (3) nhân vế theo vế ta được
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)
Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác nên \(\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}\)
do đó các số \(\frac{a^2}{b+c-a},\frac{b^2}{a+c-b},\frac{c^2}{a+b-c}\) là các số dương.
Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\) được
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{a+c-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Theo BĐT AM-GM ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(\frac{3-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+1-\left(a+b+c\right)-abc\le\frac{1}{27}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\frac{56}{27}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\frac{56}{27}\)
\(\Leftrightarrow4-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\frac{56}{27}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc\ge\frac{52}{27}\)
a) Hình như đề bài phải là \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)
Ta có: \(4a^2=\left[\left(a+b-c\right)+\left(a+c-b\right)\right]^2\ge4\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2\ge\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\)
Tương tự, nhân vế với vế -> dpcm
b) Ta có a + b + c = 2:))
Theo nguyên lí Dirichlet trong 3 số \(a-\frac{2}{3};b-\frac{2}{3};c-\frac{2}{3}\) luôn tồn tại 2 số đồng dấu. Giả sử đó là \(a-\frac{2}{3};b-\frac{2}{3}\).
Ta có: \(\left(a-\frac{2}{3}\right)\left(b-\frac{2}{3}\right)\ge0\Leftrightarrow2abc\ge\frac{4}{3}ac+\frac{4}{3}bc-\frac{8}{9}c\)
Do đó \(P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{4}{3}c\left(a+b-\frac{2}{3}\right)\)
\(=\left(a+b\right)^2+c^2+\frac{4}{3}c\left(a+b+c-\frac{2}{3}-c\right)-2ab\)
\(\ge\left(2-c\right)^2+c^2+\frac{4}{3}c\left(\frac{4}{3}-c\right)-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(=\left(2-c\right)^2+c^2+\frac{4}{3}c\left(\frac{4}{3}-c\right)-\frac{\left(2-c\right)^2}{2}\)
\(=\frac{3c^2-4c+36}{18}=\frac{3\left(c-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{104}{3}}{18}\ge\frac{52}{27}\)
Vậy....
P/s: Em ko chắc...Ban đầu định dồn biến nhưng thôi mệt lắm:P