Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xin lỗi nhé, nãy đang vội thấy 3 p/s nghĩ luôn ra mà ko kịp soát
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT ta có:
\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\Rightarrow VT\ge VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\)
\(\ge\frac{9}{a+b-c+b+c-a+a+c-b}=\frac{9}{a+b+c}\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
tổng lại sẽ>1
Ta có : \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{1}{y}\)\(\ge\)\(\frac{4}{xy}\)( với x,y dương)
Thật vậy: \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)\(\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y+x}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng \(\forall\)x,y
Áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(Vì a,b,c là 3 cạnh \(\Delta\)nên a+b-c > 0 và b+c-a > 0 bđt \(\Delta\))
Tương tự có: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng từng vế 3 bđt trên ta được:
2(\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\)\(\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)
CHÚC BẠN HỌC TỐT!
Cái phần cuối mình up lên nhưng không được chắc là do giới hạn chữ
Phần cuối bạn làm như thế này nhé:
C/m tương tự:\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng từng vế của 3 bđt trên ta được \(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(ĐFCM)
CHÚC BẠN HỌC TỐT!