Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có a, b , c là 3 cạnh của 1 tam giác
=> Đặt: z = a + b - c > 0 ; x = b + c - a> 0 ; y = a + c - b>0
khi đó: x + y + z = a + b + c
và \(a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)
Để chứng minh: \(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)(1)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{4z}+\frac{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}\ge x+y+z\)
<=> \(\frac{xy+xz+zy+x^2}{z}+\frac{yz+x^2+yx+xz}{x}+\frac{xz+xy+y^2+yz}{y}\ge4\left(x+y+z\right)\)
<=> \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)(2)
Ta có: \(\frac{\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2}{3}\ge\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}+\frac{yz}{x}.\frac{zx}{y}+\frac{zx}{y}.\frac{xy}{z}\)
\(=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x; y ; z
<=> \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\) với mọi x; y ; z dương
Vậy (2) đúng do đó (1) đúng,
Nguyễn Linh Chi hỏi nhé : nếu x + y + z thì phải = 2 ( a + b + c ) chứ
a, 2A = 4x^2+6y^2+8xy-16x-4x+36
= [(4x^2+8xy+4y^2)-2.(2x+2y).4+16] + (2y^2+12y+18) + 2
= [(2x+2y)^2-2.(2x+2y).4+16]+2.(y^2+6x+9)+2
= (2x+2y-4)^2+2.(y+3)^2+4 >= 2 => A > = 1
Dấu "=" xảy ra <=> 2x+2y-4=0 và y+3=0 <=> x=5 ; y=-3
Vậy GTNN của A = 1 <=> x=5 ; y=-3
Tk mk nha
Đã bảo bao nhiêu lần là vô công thức toán học mà gõ mà chẳng chịu làm theo làm tôi đọc đau hết cả mắt mà chả hiểu gì
-_- hại mắt người ta
cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác
CMR:\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)
hmm..
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+b-c;b+c-a;c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}+\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4z}\ge x+y+z\)
Ta có:\(\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{4x}+\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}{4y}+\frac{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}{4z}\)
\(=\frac{x^2+xy+xz+yz}{4x}+\frac{xy+yz+y^2+zx}{4y}+\frac{zx+zy+z^2+xy}{4z}\)
\(=\frac{3\left(x+y+z\right)}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\right)\)\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{y^2z^2}{xyz}+\frac{z^2x^2}{xyz}+\frac{x^2y^2}{xyz}\right)\)
\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left[\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3xyz}\right]\)\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left[\frac{3xyz\left(x+y+z\right)}{3xyz}\right]\)
\(=x+y+z\)
Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)
"Chấm" nhẹ hóng cao nhân ạ :)
P/s: mong các bác giải theo cách lớp 8 ạ :) Tặng 5SP / 1 câu nhé ;)
Đặt \(a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z\)
\(\Rightarrow a=\frac{z+x}{2};b=\frac{x+y}{2};c=\frac{y+z}{2}\)
Bài toán cần chứng minh:
\(\frac{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}{4x}+\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}{4y}+\frac{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{4z}\ge x+y+z\)
Ta có:
\(VT=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\)
\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4xyz}\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\)
\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{4xyz}\left(x+y+z\right)xyz\)
\(=x+y+z=VP\)
Đặt a+b-c=x
-a+b+c=y
a-b+c=z
=> x+y+z=a+b+c
=>x+y=2b
y+z=2c
x+z=2a
nhân 4 cả hai vế rồi tách ra là đc nha bạn
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Đặt a+b‐c=x
‐a+b+c=y
a‐b+c=z
=> x+y+z=a+b+c
=>x+y=2b
y+z=2c
x+z=2a
nhân 4 cả hai vế rồi tách ra là đc nha bạn
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c