Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b hữu tỉ thỏa mãn a3b+ab3+2a2b2+2a+2b+1=0.Chứng minh (1 - ab) là bình phương của một số hữu tỉ
Ta có a3b+ab3+2a2b2+2a+2b+1=0
<=>a2+b2+2ab+2a+2b+1=-(a3b+ab3+2a2b2)+a2+b2+2ab
<=>(a+b+1)2=-ab(a+b)2-(a+b)2
<=>(a+b+1)2=(a+b)2(1-ab)
Nếu a+b=0 thì =>1=(1-ab)0=0(vô lí)
Nếu a+b khác 0:
Vì a,b là 2 số hữu tỉ =>(a+b+1)2 và (a+b)2 là bình phương của một số hữu tỉ
=>1-ab là bình phương của một số hữu tỉ
=>đpcm
Ta có a3b+ab3+2a2b2+2a+2b+1=0
<=>a2+b2+2ab+2a+2b+1=-(a3b+ab3+2a2b2)+a2+b2+2ab
<=>(a+b+1)2=-ab(a+b)2-(a+b)2
<=>(a+b+1)2=(a+b)2(1-ab)
Nếu a+b=0 thì =>1=(1-ab)0=0(vô lí)
Nếu a+b khác 0:
Vì a,b là 2 số hữu tỉ =>(a+b+1)2 và (a+b)2 là bình phương của một số hữu tỉ
=>1-ab là bình phương của một số hữu tỉ
=>đpcm
Thay 1= 4(ab+bc+ca), Ta có:
\(\left(1+4a^2\right)\left(1+4b^2\right)\left(1+4c^2\right)\)
\(=4\left(ab+bc+ca+a^2\right).4\left(ab+bc+ca+b^2\right).4\left(ab+bc+ca+c^2\right)\)
\(=64.\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
\(=64\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\)
\(=\left[8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
Mà a, b, c là số hữu tỉ
\(\Rightarrow\left[8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)là bình phương một số hữu tỉ
\(\Rightarrow\left(1+4a^2\right)\left(1+4b^2\right)\left(1+4c^2\right)\)là bình phương một số hữu tỉ
Với ab + ac + bc = 1
Ta có: \(a^2+1=a^2+ab+ac+bc=\left(a^2+ab\right)+\left(ac+bc\right)=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)
tương tự ta có: \(b^2+1=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)
\(c^2+1=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)
Do đó: \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}\)
= \(\left|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right|\) (đpcm)
Ta có : \(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(b^2+1=b^2+ab+bc+ac=b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(c^2+1=c^2+ab+bc+ac=b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow A=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)=\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2.\left(c+a\right)^2=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
là bình phương của một số hữu tỉ.
\(A=a^5-a=a.\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)=B\left(a^2+1\right)\)B là 3 số tự nhiên liên tiếp \(\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\\B⋮6\end{matrix}\right.\) ta cần c/m A chia cho 5
\(A=B\left(n^2+1\right)=B\left[\left(n^2-4\right)+5\right]=B\left(n^2-2^2\right)=B\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5B=C+5B\)C là tích 5 số tự nhiên liên tiếp: \(\left\{{}\begin{matrix}C⋮5\\5B⋮5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A⋮5\)
\(\left\{{}\begin{matrix}A⋮5\\A⋮6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A⋮30\) => dpcm
Thay ab+bc+ca=2017 vào ta được:
\(\left(a^2+2017\right)\left(b^2+2017\right)\left(c^2+2017\right)\)
\(=\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)\)
\(=\left[\left(a^2+ab\right)+\left(bc+ca\right)\right]\left[\left(b^2+ab\right)+\left(bc+ca\right)\right]\left[\left(c^2+bc\right)+\left(ab+ca\right)\right]\)
\(=\left[a\left(a+b\right)+c\left(b+a\right)\right]\left[b\left(b+a\right)+c\left(b+a\right)\right]\left[c\left(c+b\right)+a\left(b+c\right)\right]\)\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
= \(\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\)
Vậy \(\left(a^2+2017\right)\left(b^2+2017\right)\left(c^2+2017\right)\)là bình phương của số hữu tỉ.