BD
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VD
3
3 tháng 11 2016
Ta có \(4\sqrt[3]{a+7}\le\frac{a+7+8+8}{3}=\frac{a+23}{3}\)
\(4\sqrt[3]{b+7}\le\frac{b+23}{3}\)
Từ đó ta có
\(4P=4\sqrt[3]{a+7}+4\sqrt[3]{b+7}+4\sqrt[3]{b+7}\)
\(\le\frac{a+b+b+23×3}{3}=\frac{a+2b+23×3}{3}\le24\)
\(\Rightarrow P\le6\)
Đạt được khi a = b = 1
10 tháng 9 2018
\(S=\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b+c+d}+\sqrt{c+d+a}+\sqrt{d+a+b}\)
\(\le\frac{a+b+c}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{b+c+d}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{c+d+a}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{d+a+b}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(=\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}\left(a+b+c+d\right)=2\sqrt{3}\)
PM
3
KN
17 tháng 12 2019
Ta có:
\(\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{\left(a+b\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
Tương tự:
\(\sqrt[3]{b+c}\le\frac{\left(b+c\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\sqrt[3]{c+a}\le\frac{\left(c+a\right)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\le\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{2\left(a+b+c\right)+4}{3}\)
\(=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{6}{3}=\sqrt[3]{18}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{2}{3}\\b+c=\frac{2}{3}\\c+a=\frac{2}{3}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
20 tháng 12 2019
Em làm sai tại đây nhé:
\(\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\sqrt[3]{\frac{9}{4}}.\frac{1}{3}.\left(a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)\)
LD
2
KN
15 tháng 8 2020
Dự đoán biểu thực đạt Max bằng 5 khi (a;b;c) = (0;1;2) và các hoán vị. Ta sẽ chứng minh đây là GTLN của biểu thức\(a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)
Ta có: \(a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\)\(=a\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}+b\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}\) \(+c\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)
\(\le a.\frac{b^2+2}{2}+b.\frac{c^2+2}{2}+c.\frac{a^2+2}{2}=\frac{ab^2+bc^2+ca^2+6}{2}\)
Cần chứng minh \(ab^2+bc^2+ca^2\le4\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)
\(\Leftrightarrow ab^2+ca^2\le a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+bc^2+abc\)
\(\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(c+a\right)^2\) \(=4b.\frac{c+a}{2}.\frac{c+a}{2}\le4.\left(\frac{b+\frac{c+a}{2}+\frac{c+a}{2}}{3}\right)^3\) \(=\frac{4\left(a+b+c\right)^3}{27}=4\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi (a;b;c) = (0;1;2) và các hoán vị
20 tháng 5 2019
Ta có \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}\right)\)
Khi đó \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)=\frac{3}{2}\)
\(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1/3
\(\sqrt{a+b}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\sqrt{a+b}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le\dfrac{\dfrac{2}{3}+a+b}{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(\text{Tương tự :}\sqrt{b+c}\le\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\dfrac{\dfrac{2}{3}+b+c}{2};\sqrt{c+a}\le\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\dfrac{\dfrac{2}{3}+c+a}{2}\)
\(\text{Khi đó :}S\le\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.\dfrac{2+2\left(a+b+c\right)}{2}=\sqrt{6}\)
\(\text{Vậy maxS=}\sqrt{6}\text{ khi }a=b=c=\dfrac{1}{3}\)