Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}\ge\frac{2a}{c}\) ; \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2. \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc.ac}{ab}}=2c\) ; \(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2b\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(P+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\) \(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng phân thức:
\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow P+3\ge\frac{9}{2}\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=c\)
\(P=\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{c+a+4}{2+b}+\frac{a+b+3}{3+c}\)
\(\Rightarrow P+3=\frac{b+c+5}{1+a}+1+\frac{c+a+4}{2+b}+1+\frac{a+b+3}{3+c}+1\)
\(\Rightarrow P+3=\frac{a+b+c+6}{1+a}+\frac{a+b+c+6}{2+b}+\frac{a+b+c+6}{3+c}\)
\(\Rightarrow P+3=\frac{12}{1+a}+\frac{12}{2+b}+\frac{12}{3+c}\ge\frac{12.9}{6+a+b+c}=9\)
\(\Rightarrow P\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=2\\c=1\end{matrix}\right.\)
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Tương tự:\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{b+c};\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{4}{c+a}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi chia cho 2 ta thu được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
b)Đặt \(a+b=x;b+c=y;c+a=z\). Cần chứng minh:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
Cách làm tương tự câu a.
c) \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\le\frac{1}{16}\Sigma\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
d) Em làm biếng quá anh làm nốt đi:P
Theo em bài này có 2 lỗi sai, thứ nhất:
Theo BĐT dòng 3 thì ta có :\(a+b+c\ge1\)
Tuy nhiên dấu đẳng thức lại xảy ra khi \(a=1,b=c=0\) (Thực ra thay đẳng thức a = b = c = 1 vào nó cũng không thỏa mãn!)
Thứ 2: Dòng kế cuối, nếp áp dụng BĐT dòng 4 thì: \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\ge\frac{\left(a+b+c\right)}{9}\ge\frac{\sqrt[3]{abc}}{3}?!\)
A=\(\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+a+c}+\frac{c}{3c+a+b}\)
=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\frac{1}{2}-\frac{a}{3a+b+c}+\frac{1}{2}-\frac{b}{3b+a+c}+\frac{1}{2}-\frac{c}{3c+a+b}\)
<=>\(\frac{3}{2}\)-A=\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\)
ta lại có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{6a+2b+2c}+\frac{1}{6b+2a+2c}+\frac{1}{6c+2a+2b}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{6a+2b+2c+6b+2a+2c+6c+2a+2b}\right)=\frac{9}{10}\)<=>\(\frac{3}{2}-\)A\(\ge\frac{9}{10}\)<=>A\(\le\frac{3}{2}-\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\)
dấu "=" xảy ra <=>a=b=c
\(\frac{a+b}{c}\)+\(\frac{b+c}{a}\)+\(\frac{c+a}{b}\)=\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{b}{a}\)+\(\frac{c}{a}\)+\(\frac{c}{b}\)+\(\frac{a}{b}\)
Vì a;b;c>0 áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{c}{a}\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}\)=2
\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{c}{b}\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}\)=2
\(\frac{b}{a}\)+\(\frac{a}{b}\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{b}{a}.\frac{a}{b}}\)=2
Cộng vế với vế ta có:
\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{b}{a}\)+\(\frac{c}{a}\)+\(\frac{c}{b}\)+\(\frac{a}{b}\)\(\ge\)2+2+2
=>\(\frac{a+b}{c}\)+\(\frac{b+c}{a}\)+\(\frac{c+a}{b}\)\(\ge\)6
dấu = xảy ra a=b=c
a=b=c