Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do a,b,c đối xứng , giả sử \(a\ge b\ge c\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}\ge\frac{b}{a+c}\ge\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Trư - bê - sép , ta có :
\(a^2.\frac{a}{b+c}+b^2.\frac{b}{a+c}+c^2.\frac{c}{b+c}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\left(\frac{a}{b+C}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
\(vậy\) \(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{1}{2}\)( Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Chebyshev như vầy nhé :
Ta có :
\(3.\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+c}\right)=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Nesbit , ta có :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra : \(3.\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\frac{3}{2}\)
<=> \(\Sigma\left(a^2.\frac{a}{b+c}\right)\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Bài 1:Cách thông thường nhất là sos hoặc cauchy-Schwarz nhưng thôi ko làm:v Thử cách này cho nó mới dù rằng ko chắc
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c\le1\Rightarrow a+b=3-c\ge2\) và \(a\ge1\)
Ta có \(LHS=a^3.a+b^3.b+c^3.c\)
\(=\left(a^3-b^3\right)a+\left(b^3-c^3\right)\left(a+b\right)+c^3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a^3-b^3\right).1+\left(b^3-c^3\right).2+3c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3=RHS\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có: \(VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ca}+\frac{c^2}{ca+cb}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Đặt \(f\left(a,b,c\right)=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)và \(t=\frac{a+b}{2}\)
Khi đó thì \(f\left(t,t,c\right)=\frac{t}{t+c}+\frac{t}{t+c}+\frac{c}{2t}=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}\)
Ta có: \(f\left(a,b,c\right)=\frac{\left(a^2+b^2\right)+c\left(a+b\right)}{c^2+ab+c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{4\left(a^2+b^2\right)+4c\left(a+b\right)}{4c^2+4ab+4c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)
\(\ge\frac{2\left(a+b\right)^2+4c\left(a+b\right)}{4c^2+\left(a+b\right)^2+4c\left(a+b\right)}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{8t^2+8tc}{4c^2+4t^2+8tc}+\frac{c}{2t}\)
\(=\frac{2t^2+2tc}{c^2+t^2+2tc}+\frac{c}{2t}=\frac{2t\left(t+c\right)}{\left(t+c\right)^2}+\frac{c}{2t}\)\(=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}=f\left(t,t,c\right)\)
Do đó \(f\left(a,b,c\right)\ge f\left(t,t,c\right)\)
Ta cần chứng minh: \(f\left(t,t,c\right)=\frac{2t}{t+c}+\frac{c}{2t}\ge\frac{3}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(t-c\right)^2}{2t\left(t+c\right)}\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
1.
\(P=\frac{a^4}{abc}+\frac{b^4}{abc}+\frac{c^4}{abc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3abc}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)}{3abc\left(a+b+c\right)}\)
\(P\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right).3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}.3\sqrt[3]{abc}}{3abc\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
2.
\(P=\sum\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4.\frac{3}{8}\left(a+b+c+d\right)^2}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=d\)
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2}{c}=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{b}=\frac{2}{c}-\frac{1}{a}=\frac{2a-c}{ac}\\\frac{1}{a}=\frac{2}{c}-\frac{1}{b}=\frac{2b-c}{bc}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a-c=\frac{ac}{b}\\2b-c=\frac{bc}{a}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a+c}{2a-c}=\frac{b\left(a+c\right)}{ac}=\frac{ab}{ac}+\frac{bc}{ac}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\\\frac{b+c}{2b-c}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{ab}{bc}+\frac{ac}{bc}=\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{2}{c}=0\Leftrightarrow\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}\ge2\) ( áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) )
Ta có : \(\frac{a+c}{2a-c}+\frac{b+c}{2b-c}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\frac{a+b}{c}\ge2+2=4\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Chúc bạn học tốt !!!
1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
Huy giật mình, đôi bàn tay run run, anh vội vung ngay con dao cầm trong tay mà chặt vào cổ con gà.
Cái cổ con gà đứt phay bay vào đám gio bếp, mà miệng nó vẫn không ngừng kêu lên những âm thanh réo như tiếng chim lợn.
Được một lúc thì tiếng kêu của nó cũng dần im bặt, chỉ còn lại cái âm thanh lách tách của củi lửa bên dưới đáy nồi.
Cái cổ con gà đứt phay bay vào đám gio bếp, mà miệng nó vẫn không ngừng kêu lên những âm thanh réo như tiếng chim lợn.
Được một lúc thì tiếng kêu của nó cũng dần im bặt, chỉ còn lại cái âm thanh lách tách của củi lửa bên dưới đáy nồi.
Trên mặt Huy thì giờ này đều đã lấm tấm mồ hôi, anh nhìn lại từ cổ con gà mà mình vừa chặt đứt đầu đang chảy ra những dòng máu đỏ tươi mà run rẩy. Chim lợn là giống loài được quan niệm là đại diện cho điềm hung của người Việt, mỗi khi chim lợn kêu lên, là báo hiệu rằng trong nhà có người sắp chết. Vậy liệu có khi nào, đây chính là một loại điềm báo hay không?