Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt ab=x, bc=y, ac=z
suy ra \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
pt thanh nhân tử \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xz-xy-yz\right)=0\)
do x,y,z>0suy ra x+y+z>0
nên suy ra \(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xz-2xy-2yz=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
suy ra x=y=z
thế vào pt ta có dpcm
Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky với các số thực \(a,b,c\)
\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\right)\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\geq \left ( \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \right )^2\)
\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}\right)\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\geq \left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b} \right )^2\)
Cộng hai vế trên thu được:
\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\right)\left(\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\right)\geq \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)
Tiếp tục áp dụng Bunhiacopxky:
\([\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2](1+1)\geq \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)
Suy ra:
\(\left(\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\right)\left(\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\right)\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
Đề đung đúng :D
\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge2\left(\dfrac{ab+bc-ca}{abc}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc-ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c+a-b\right)^2\ge0\)
Vậy ta có đpcm
đề sai sai