Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^2+b^2=a+b\Leftrightarrow4a^2+4b^2=4a+4b\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+4b^2-4b=0\Leftrightarrow\left(4a^2-4a+1\right)+\left(4b^2-4a+1\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2+\left(2b-1\right)^2=2\)
Áp dụng BĐT: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow\left(2a-1\right)^2+\left(2b-1\right)^2\ge\frac{\left(2a+2b-2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow2\ge\frac{\left(2a+2b-2\right)^2}{2}\Leftrightarrow4\ge\left(2a+2b-2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow1\ge a+b-1\Leftrightarrow4\ge a+b+2\)
Nhận thấy: \(S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\left(1-\frac{1}{a+1}\right)+\left(1-\frac{1}{b+1}\right)\)
\(=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)
Ta áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}\Rightarrow2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\le2-\frac{4}{a+b+2}\)
Do \(a+b+2\le4\)(cmt) \(\Rightarrow\frac{4}{a+b+2}\ge1\Rightarrow2-\frac{4}{a+b+2}\le1\)
Từ đó: \(S=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\le2-\frac{4}{a+b+2}\le1\)
Suy ra \(Max\) \(S=1\).
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1.\)
a)
\(x^3+y^3+3\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+\left(y^3+3y^2+3y+1\right)+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]+\left(x+y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1\right]=0\)
Lại có :\(\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+1=\left[\left(x+1\right)-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+1>0\)
Nên \(x+y+2=0\Rightarrow x+y=-2\)
Ta có :
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}\)
Vì \(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow4xy\le\left(-2\right)^2\Rightarrow4xy\le4\Rightarrow xy\le1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{1}{1}\Rightarrow\frac{-2}{xy}\le-2\)
hay \(M\le-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=-1\)
Vậy \(Max_M=-2\)khi \(x=y=-1\)
c) ( Mình nghĩ bài này cho x, y, z ko âm thì mới xảy ra dấu "=" để tìm Min chứ cho x ,y ,z dương thì ko biết nữa ^_^ , mình làm bài này với điều kiện x ,y ,z ko âm nhé )
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}2x+y+3z=6\\3x+4y-3z=4\end{cases}\Rightarrow2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4}\)
\(\Rightarrow5x+5y=10\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow y=2-x\)
Vì \(y=2-x\)nên \(2x+y+3z=6\Leftrightarrow2x+2-x+3z=6\)
\(\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow3z=4-x\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{4-x}{3}\)
Thay \(y=2-x\)và \(z=\frac{4-x}{3}\)vào \(P\)ta có :
\(P=2x+3y-4z=2x+3\left(2-x\right)-4.\frac{4-x}{3}\)
\(\Rightarrow P=2x+6-3x-\frac{16}{3}+\frac{4x}{3}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)( Vì \(x\ge0\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)( Thỏa mãn điều kiện y , z ko âm )
Vậy \(Min_P=\frac{2}{3}\)khi \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=2\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Để M=a+b+c nhỏ nhất thì a,b,c phải nhỏ nhất
mà a\(\ge\)5 , b\(\ge\)6 , c\(\ge\)7
và a\(^2\)+b\(^2\)+c\(^2\)=125
\(\Rightarrow\)a,b,c lần lượt là 5 ,6,8 (tmđk)
GTNN của M là 19
1/
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 4$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{4}{3}$
Vậy GTNN của biểu thức là $\frac{4}{3}$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=\frac{2}{3}$
2/
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+2007\geq 2\sqrt{2007x}$
$\Rightarrow (x+2007)^2\geq (2\sqrt{2007x})^2=8028x$
$\Rightarrow P=\frac{x}{(x+2007)^2}\leq \frac{x}{8028x}=\frac{1}{8028}$
Vậy $P_{\max}=\frac{1}{8028}$ khi $x=2007$