Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả thiết là \(a,b\ge0\)thì chuẩn hơn.
\(\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab=1+2ab\ge1\text{ }\Rightarrow\text{ }a+b\ge1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(2ab=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}}\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\text{ }\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)
\(P=\sqrt{1+2a}+\sqrt{1+2b}\)
Max: Áp dụng bđt đã sử dụng ở trên: \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)
\(P^2\le2\left(1+2a+1+2b\right)=4\left(a+b\right)+4\le4\sqrt{2}+4\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{4+4\sqrt{2}}=2\sqrt{1+\sqrt{2}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Min: Dùng bđt \(\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}\ge1+\sqrt{1+x+y}\text{ (1)}\left(x;\text{ }y\ge0\right)\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow1+x+1+y+2\sqrt{1+x}\sqrt{1+y}\ge1+1+x+y+2\sqrt{x+y+1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+x}\sqrt{1+y}\ge\sqrt{1+x+y}\)
\(\Leftrightarrow xy+x+y+1\ge x+y+1\)
\(\Leftrightarrow xy\ge0\)
Do bđt cuối dúng với mọi \(x,y\ge0\) nên (1) đúng.
Dấu bằng xảy ra khi \(xy=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)
\(P\ge1+\sqrt{1+2\left(a+b\right)}\ge1+\sqrt{1+2}=1+\sqrt{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}a=0;\text{ }b=1\\a=1;\text{ }b=0\end{cases}}\)
\(P^2=a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}+2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(c+a^2\right)}.\)
Theo bđt Bunhiacopski ta có
\(2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}\ge2\sqrt{b^3}\)(vì \(a,c\ge0\))
Tương tự \(2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}\ge2\sqrt{c^3}\)
\(2\sqrt{\left(c+a^2\right)\left(a+b^2\right)}\ge2\sqrt{a^3}\)
\(\Rightarrow P^2\ge a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\)
Theo gt : \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}\Rightarrow0\le a,b,c\le1}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\ge a^2,b\ge b^2,c\ge c^2\\a^3\ge a^4,b^3\ge b^4,c^3\ge c^4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c\ge a^2+b^2+c^2=1\\2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P^2\ge1+1+2=4\)\(\Rightarrow P\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0,c=1 và các hoán vị của nó
Tìm Max
Theo bđt Bunhiacopski ta có
\(P^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)\(\le3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=3\left(1+\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{3\left(1+\sqrt{3}\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
B3 mk tìm đc cách giải r nhưng bạn nào muốn thì trả lời cg đc
Các bạn giải giúp mình B2 và B5 nhé. Mấy bài kia mình giải được rồi.
Áp dụng BĐT Cô-si,ta có :
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a.\frac{3a+a+2b}{2}=2a^2+ab\)
Tương tự : \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\)
Cộng vế theo vế, ta được :
\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2\left(a^2+b^2\right)+2ab=4+2ab\le4+a^2+b^2\le6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
Ta có :
\(A=\sqrt{\left(2a-3b\right)^2}+2\sqrt{\left(b-c\right)^2}+\sqrt{\left(2c-3a\right)^2}\)
\(A=\left|2a-3b\right|+2\left|b-c\right|+\left|2c-3a\right|\)
\(\ge3b-2a+2\left(c-b\right)+\left(3a-2c\right)=a+b\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}3b-2a,c-b,3a-2c\ge0\\a=b=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=1\\1\le c\le\frac{3}{2}\end{cases}}}\)
Vậy Min A = 2 khi a = b = 1 và c \(\in\)\(\left[1,\frac{3}{2}\right]\)