Cho a,b dương: a;b>0, a+b<=1 Tính GTNN:\(S=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{a^2b}+\dfrac{1}{ab^2}\)

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

MN

Mỹ Ninh

10 tháng 12 2020

Cho a,b dương: a;b>0, a+b<=1

Tính GTNN:\(S=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{1}{a^2b}+\dfrac{1}{ab^2}\)

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

17 tháng 5 2023

Mở ảnh

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

LD

Lữ Diễm My

13 tháng 7 2018

Chứng minh : a) \(\dfrac{3x}{2y}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{5}}-\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{3\sqrt{x}}{2}.\left(\dfrac{\sqrt{x}}{y}+\sqrt{\dfrac{3}{5x}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)\) b)\(ab.\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\) , với a ; b > 0 c) \(\left(\dfrac{3}{a}\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{4}{ab}}-2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right):\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=3a-2b-1\) với a, b...

1

DD

Duy Đỗ Ngọc Tuấn

13 tháng 7 2018

b)CM: \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\)

\(VT=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{\left(ab\right)^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}\)

\(VT=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}-\sqrt{a^2b^2+1}\)

\(VT=\sqrt{a^2b^2+1}-\sqrt{a^2b^2+1}\)

\(VT=0=VP\)

LN

Lệ Ngân

9 tháng 6 2018

Cho a>0, b>0 và a+b<=1

Tìm GTNN của biểu thức \(S=\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}\)

2

MS

Mashiro Shiina

9 tháng 6 2018

Làm lại :v

\(\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}\)

\(\ge\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{2a+b}+\dfrac{1}{a+b}\)

\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{2ab+b^2}+\dfrac{1}{a+b}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+2ab}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}}+\dfrac{1}{a+b}\)

\(=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\dfrac{3}{2}\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

MS

Mashiro Shiina

9 tháng 6 2018

Thật ra bài này t đã làm rồi,mà méo rảnh đi mò link,bạn rảnh thì có thể tìm nhé

HM

Hồ Minh Phi

9 tháng 12 2018

Cho a,b,c > 0. Tìm GTNN:

a, \(A=\dfrac{a^2}{2b+5c}+\dfrac{b^2}{2c+5a}+\dfrac{c^2}{2a+5b}\) với abc = 8

b, \(B=\dfrac{b+c}{a^2}+\dfrac{c+a}{b^2}+\dfrac{a+b}{c^2}\) với abc = 1

c, \(C=\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ca}{c+a}+\dfrac{c+ab}{a+b}\) với a + b + c = 1

d, \(D=\dfrac{a^3}{2b+3c}+\dfrac{b^3}{2c+3a}+\dfrac{c^3}{2a+3b}\) với \(a^2+b^2+c^2\ge3\)

0

GH

Gia Hân Ngô

4 tháng 10 2018

Cho a,b,c \(\in\) R; 0 < a,b,c < 1 và ab + bc + ca = 1

Tìm GTNN: \(A=\dfrac{a^2\left(1-2b\right)}{b}+\dfrac{b^2\left(1-2c\right)}{c}+\dfrac{c^2\left(1-2a\right)}{a}\)

0

VP

Vũ Phương Linh

14 tháng 12 2018

Câu 1: cho x, y, z > 0 thỏa mãn x+2y+3z>=20

tìm GTNN của \(P=x+y+z+\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{2y}+\dfrac{4}{z}\)

Câu 2: cho a, b > 0 và ab+4<=2b

tìm GTLN của \(P=\dfrac{ab}{a^2+2b^2}\)

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

14 tháng 12 2018

Câu 1:

\(P=\dfrac{x}{4}+\dfrac{3x}{4}+\dfrac{2y}{4}+\dfrac{2y}{4}+\dfrac{3z}{4}+\dfrac{z}{4}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{9}{2y}+\dfrac{4}{z}\)

\(P=\dfrac{1}{4}\left(x+2y+3z\right)+\left(\dfrac{3x}{4}+\dfrac{3}{x}\right)+\left(\dfrac{2y}{4}+\dfrac{9}{2y}\right)+\left(\dfrac{z}{4}+\dfrac{4}{z}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{20}{4}+2\sqrt{\dfrac{3x}{4}.\dfrac{3}{x}}+2\sqrt{\dfrac{2y}{4}.\dfrac{9}{2y}}+2\sqrt{\dfrac{z}{4}.\dfrac{4}{z}}=5+3+3+2=13\)

\(\Rightarrow P_{min}=13\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+3z=20\\\dfrac{3x}{4}=\dfrac{3}{x}\\\dfrac{2y}{4}=\dfrac{9}{2y}\\\dfrac{z}{4}=\dfrac{4}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\\z=4\end{matrix}\right.\)

Câu 2:

Ta có

\(ab+4\ge2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}\Rightarrow2b\ge4\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}\ge2\Rightarrow\dfrac{b}{a}\ge4\)

\(P=\dfrac{ab}{a^2+2b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2b}{a}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{16a}+\dfrac{31b}{16a}}\)

\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{16a}}+\dfrac{31}{16}.\dfrac{b}{a}}\le\dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}+\dfrac{31}{16}.4}=\dfrac{4}{33}\)

\(\Rightarrow P_{max}=\dfrac{4}{33}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\ab+4=2b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=4\end{matrix}\right.\)

NN

Nguyễn Ngọc Bảo Quang

4 tháng 7 2019

Cho mình hỏi câu 1 vì sao bạn lại phân tích được \(2\sqrt{...}\), ....

PT

༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻

6 tháng 1 2018

Cho a, b, c > 0 thoa man a + b + c = 3.

Tim GTNN : \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

1

NH

Nguyễn Hải Đăng

6 tháng 1 2018

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(VT=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{9}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac+ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)

\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:

\(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)

Ta có: \(\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)

PT

Phạm Tuấn Kiệt

6 tháng 1 2018 - olm

Cho a, b, c > 0 thoa man a + b + c = 3.

Tim GTNN : \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

2

TT

trần thành đạt

6 tháng 1 2018

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

BT\(\ge\)\(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}=\frac{9}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)\(=1+\frac{7}{ab+bc+ac}\)

Ta lại có ab+bc+ac =< (a+b+c)^2/3 =3

\(\Rightarrow BT\ge1+\frac{7}{3}=\frac{10}{3}\)

Vậy GTNN là \(\frac{10}{3}\)khi a=b=c=1

PT

pham trung thanh

6 tháng 1 2018

Cô-si Schwarzt dạng Engel là đc

NM

Nguyễn Mary

10 tháng 7 2018

Bài 1 : cho x, y >0 và x2+y2=1. Tìm GTNN của \(P=\left(1+x\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\) Bài 2 : cho a, b, c > 0. CMR \(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}>=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{2b+a+c}+\dfrac{1}{2c+a+b}\) Bài 3 : cho a, b, c, d >0. ...

3

AH

Akai Haruma

Giáo viên

10 tháng 7 2018

Bài 1:

\(P=(x+1)\left(1+\frac{1}{y}\right)+(y+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)\)

\(=2+x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\)

\(x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

\(y+\frac{1}{2y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

Áp dụng BĐT SVac-xơ kết hợp với Cô-si:

\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\geq \frac{4}{2x+2y}=\frac{2}{x+y}\geq \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

Cộng các BĐT trên :

\(\Rightarrow P\geq 2+2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)

Vậy \(P_{\min}=4+3\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

AH

Akai Haruma

Giáo viên

10 tháng 7 2018

Bài 2:

Áp dụng BĐT Svac-xơ:

\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+a+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)

\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\geq \frac{4}{2b+4c+2a}=\frac{2}{b+2c+a}\)

\(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{c+a+2b}\geq \frac{4}{2c+4a+2b}=\frac{2}{c+2a+b}\)

Cộng theo vế và rút gọn :

\(\Rightarrow \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

HN

Hoàng Ngọc Tuyết Nung

5 tháng 11 2018

cho a,b,c >0 và a.b.c=1. tìm gtnn của

P=\(\dfrac{bc}{a^2b+a^2c}+\dfrac{ca}{b^2c+b^2a}+\dfrac{ab}{c^2a+c^2b}\)

1

E

Eren

5 tháng 11 2018

\(P=\dfrac{bc}{\dfrac{a^2bc}{c}+\dfrac{a^2bc}{b}}+\dfrac{ca}{\dfrac{b^2ac}{a}+\dfrac{b^2ac}{c}}+\dfrac{ab}{\dfrac{c^2ab}{b}+\dfrac{c^2ab}{a}}=\dfrac{\left(bc\right)^2}{a^2b^2c+a^2bc^2}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{b^2a^2c+b^2ac^2}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c^2a^2b+c^2ab^2}=\dfrac{\left(bc\right)^2}{ab+ac}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{ba+bc}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{ca+cb}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1

HN

Hoàng Ngọc Tuyết Nung

5 tháng 11 2018

3 phân số bé hơn hoặc bằng có thể giait hích ko