TA
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DT
2
TN
27 tháng 10 2016
Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(b-1+1\ge2\sqrt{b-1}\Leftrightarrow\frac{b}{2}\ge\sqrt{b-1}\)
\(\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có: \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
TT
2
29 tháng 4 2019
Ta có \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\Leftrightarrow a+b=a-1+2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}+b-1\Leftrightarrow2=2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\Leftrightarrow\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=1\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\Leftrightarrow ab-a-b+1=1\Leftrightarrow a+b=ab\)Vậy nếu \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\) thì a+b=ab
29 tháng 4 2019
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\left(a\ge1;b\ge1\right)\\ \Leftrightarrow a+b=a-1+b-1+2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\\ \Leftrightarrow a+b=a+b-2+2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\\ \Leftrightarrow2=2\sqrt{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\\ \Leftrightarrow1=\sqrt{a-1}\sqrt{b-1}\\ \Leftrightarrow1=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\\ \Leftrightarrow1=ab-a-b-1\\ \Leftrightarrow ab=a+b\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 3 2020
Đề bài nhìn không đúng lắm (thay điểm rơi vào thấy ko thỏa) có lẽ bạn ghi thiếu c cuối cùng, BĐT đúng có vẻ là:
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge\sqrt{abc}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
Mình sẽ chứng minh BĐT bên trên, BĐT tương đương:
\(\sqrt{\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{ac}+\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{c}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{bc}}+\sqrt{\frac{1}{ac}}+\sqrt{\frac{1}{ab}}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)
Ta cần chứng minh:
\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
Thật vậy:
\(\sqrt{x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}\ge x+\sqrt{yx}\)
Làm tương tự và cộng lại:
\(VT\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
KN
4 tháng 6 2020
Theo giả thiết thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Rightarrow ab+bc+ca=abc\)
Ta cần chứng minh: \(\Sigma\sqrt{a+bc}\ge\sqrt{abc}+\Sigma\sqrt{a}\)(*)
Thật vậy: (*) \(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{a^2+abc}{a}}\ge\sqrt{abc}+\Sigma\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{a^2+ab+bc+ca}{a}}\ge\sqrt{abc}+\Sigma\sqrt{a}\)\(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a}}\ge\sqrt{abc}+\Sigma\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow\text{}\Sigma\sqrt{bc\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge abc+\sqrt{abc}\left(\Sigma\sqrt{a}\right)\)(Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \(\sqrt{abc}>0\))
\(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge abc+\Sigma a\sqrt{bc}\)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì theo BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: \(\Sigma\sqrt{\left(b^2+ab\right)\left(c^2+ac\right)}\ge\Sigma\left(bc+a\sqrt{bc}\right)=abc+\Sigma a\sqrt{bc}\text{}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2018
Lời giải:
a) Ta thấy: \(a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0, \forall a,b>0\)
\(\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}>0\Rightarrow \frac{1}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{ab}}\).
Vì $a> b$ nên dấu bằng không xảy ra . Tức \(\frac{1}{a+b}< \frac{1}{2\sqrt{ab}}\)
Ta có đpcm
b)
Áp dụng kết quả phần a:
\(\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.1}}\)
\(\frac{1}{5}=\frac{1}{3+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.3}}\)
\(\frac{1}{7}=\frac{1}{4+3}< \frac{1}{2\sqrt{4.3}}\)
.....
\(\frac{1}{4021}=\frac{1}{2011+2010}< \frac{1}{2\sqrt{2011.2010}}\)
Do đó:
\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}\)
\(< \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2.1}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3.2}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{4.3}}+....+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2\sqrt{2011.2010}}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{2010}}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}< \frac{1}{2}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 7 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Lê Đình Quân - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
25 tháng 9 2017
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
bn ơi
\(a,b\ge1\)
- Áp dụng bất đẳng thức Caushy, ta có:
\(a\sqrt{\left(b-1\right).1}+b\sqrt{\left(a-1\right).1}\le a.\dfrac{\left(b-1\right)+1}{2}+b.\dfrac{\left(a-1\right)+1}{2}=\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ab}{2}=ab\left(đpcm\right)\)
- Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}b-1=1\\a-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=2\)