K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
22 tháng 3 2018
1a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
22 tháng 3 2018
2a)\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+\dfrac{b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\cdot\dfrac{1}{2}b\cdot a+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)Đã cm
c)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
25 tháng 6 2017
Ta có:
\(\left(a^2+4b^2+3c^2\right)-\left(20a+12b-6c-14\right)\)
\(=a^2+4b^2+3c^2-20a-12b-6c-14\)
\(=\left(a^2-2.a.10+100\right)+\left[\left(2b\right)^2-2.2b.3+9\right]+3\left(c^2+2c+1\right)-98\)
\(=\left(a-10\right)^2+\left(2b-3\right)^2+3\left(c+1\right)^2-98\ge-98\)
Vậy đề bài vô lý
NL
1
12 tháng 4 2020
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Chuyển vế và CM tương tự
NT
1
16 tháng 6 2017
a,b <0 hiển nhiên a^2 +b^2 >= a+b {VT>0 VP <0}
xét a,b >0
a^2 +b^2 >=2ab>=2
a^2 +b^2 -2a-2b +a^2 +b^2 >= a^2 +b^2 -2a-2b +2 =a^2 +b^2 -2a-2b +1+1 =(a-1)^2 +(b-1)^2 >=0 hiển nhiên => dpcm
đẳng thwucs kh a=b=1
22 tháng 11 2017
AM - GM : \(a+b\ge2\sqrt{ab}=2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{\left(a+b\right)\left(a+b\right)}{2}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{2}=a+b\)
20 tháng 3 2018
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
20 tháng 3 2018
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
LT
0
ZN
1
HQ
21 tháng 4 2018
Ta có: \(a^4+1\ge a\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+1\ge a^3+a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3+1-a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^3-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)Ta thấy \(a^2+a+1=a^2+2a.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+1-\dfrac{1}{4}=\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\)Vì \(\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) ( với mọi a )
Vậy \(\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\) ( với mọi a )
Khi \(x-1\ne0\) hay \(x\ne1\) ( vì \(x^2+1>0\) với mọi x )
HV
2
3 tháng 5 2017
Giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1+1+1\right)\) \(\ge\left(a.1+b.1+c.1\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{1}=\dfrac{b}{1}=\dfrac{c}{1}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
2 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
link: [Toán 8] Chứng mih $a^2+b^2+c^2\ge 14$ | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập lớn nhất Việt Nam