Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thực hiện phép chia, ta được:Thương của A chia cho B là n3 – 6n2 + 11n – 6Ta có: 3 2 3 226 11 6 12 6 6( 1) .( 1) 6.(2 1)n n n n n n nn n n n n− + − = − + − −= − + + − −Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6Mặt khác 6(2n-n2-1) chia hết cho 6=> Th¬ng cña phÐp chia A cho B lµ béi sè cña 6
Bài 1 :
ĐKXĐ : \(2-x\ne0\)
=> \(x\ne2\)
Ta có :\(\frac{4x+1}{4\left(2-x\right)}\ge x+2\)
=> \(4x+1\ge4\left(x+2\right)\left(2-x\right)\)
=> \(4x+1\ge4\left(4-x^2\right)\)
=> \(4x+1\ge16-4x^2\)
=> \(4x^2+4x-15\ge0\)
=> \(4x^2+10x-6x-15\ge0\)
=> \(4x\left(x-1,5\right)+10\left(x-1,5\right)\ge0\)
=> \(\left(4x+10\right)\left(x-1,5\right)\ge0\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}4x+10\ge0\\x-1,5\ge0\end{matrix}\right.\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}x\ge-\frac{5}{2}\\x\ge\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
=> \(x\ge\frac{3}{2}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là \(S=\left\{x|x\ge\frac{3}{2}\right\}\) .
Bài 2:
Ta có: \(\left(a+b\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^4+b^4\right)-\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^4+b^4\right)-\left(a^2+b^3\right)\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[a^4+b^4-\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[a^4+b^4-a^4+a^3b-a^2b^2-a^2b^2+ab^3-b^4\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3b+ab^3-a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)ab\left(a-b\right)^2\ge0\)
BĐT luôn đúng vì \(a>0;b>0\) và \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cũng chẳng biết có đánh lộn chỗ nào không nữa. Lần sau chia nhỏ ra.
+ \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Rightarrow3a^2-3b^2+a-b=a^2\)
\(\Rightarrow3\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=a^2\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)=a^2\) (*)
+ Gọi \(d=\left(a-b;3a+3b+1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮d\\3a+3b+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a-3b⋮d\\3a+3b+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3a+3b+1+3a-3b⋮d\)
\(\Rightarrow6a+1⋮d\) (1)
+ \(\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮d\\3a+3b+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)⋮d^2\)
\(\Rightarrow a^2⋮d^2\Rightarrow a⋮d\Rightarrow6a⋮d\) (2)
+ Từ (1) và (2) \(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> a - b và 3a + 3b + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau (**)
+ Từ (*) và (**) => đpcm
P/s : nếu tích 2 số nguyên tố cùng nhau là số cp thì mỗi số đều là số chính phương
\(n^3+n+2\)
\(=n^3-n+2n+2\)
\(=n.\left(n^2-1\right)+2.\left(n+1\right)\)
\(=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)+2.\left(n+1\right)\)
\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)
\(\Rightarrow n^3+n+2\)là hợp số với mọi \(n\inℕ^∗\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Ta có: \(n^3+n+2\)
\(=n^3-n+2n+2\)
\(=n\left(n^2-1\right)+2\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n-1\right)+2\left(n+1\right)\)
\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n\right)+2\left(n+1\right)\)
\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)
Ta có: \(n^2-n+2=n^2-n+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)
Lại có: \(n^2-n=n\left(n-1\right)\)(tích 2 số tự nhiên liên tiếp chẵn nên \(n^2-n+2\)chẵn)
\(\Rightarrow n^2-n+\frac{1}{2}\)là số dương chẵn
Mà \(n+1>1\)(Vì n dương) nên \(\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)là số tự nhiên chẵn
Vậy \(\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)là hợp số
hay \(n^3+n+2\)là hợp số