Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Schwarz ta có:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left(2\left(a+b+c\right)\right)^2}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
Dấu ''='' xảy ra bạn tự giải nha.
a)
Đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(\Rightarrow A=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
Áp dụng BĐT Schwarz , ta có :
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\) (1)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\ge3\) (2)
Từ (1) và (2) , suy ra : \(A\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
b)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
Áp dụng BĐT C-S ta có:
\(\left(a+b+c\right)\cdot VT\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\left(1\right)\)
Mặt khác ta cũng có bổ đề \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\ge\frac{9}{4}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta dc DPCM
Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a}+\frac{\left(c+a\right)^2}{b}\ge\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)