Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(\hept{\begin{cases}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2< ab+ac\\b^2< bc+ab\\c^2< ac+bc\end{cases}}\)
Cộng từng vế của các BĐT trên:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)\(< 4\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\)\(< 4\left(ab+bc+ac\right)\)(đpcm)
Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
Vì a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên ta có : \(a+b>c;a+c>b;b+c>a\)
\(\Rightarrow c\left(a+b\right)>c.c\Rightarrow ac+bc>c^2\)
\(\Rightarrow b\left(a+c\right)>b.b\Rightarrow ab+bc>b^2\)
\(\Rightarrow a\left(b+c\right)>a.a\Rightarrow ab+ac>a^2\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\left(ac+bc\right)+\left(ab+bc\right)+\left(ab+ac\right)>a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)>a^2+b^2+c^2\) (đpcm)
Nhân 2 vế với a>0 ta có
ab+ac>a^2 (1)
bc+ba>b^2 (2)
ac+cb>c^2 (3)
Cộng hai vế của (1) , (2) , (3) ta được 2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2 ( đpcm)
Ta có; \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
Vậy...
Theo bđt tam giác ta có : \(\hept{\begin{cases}a-b< c\Rightarrow a^2-2ab+b^2< c^2\\b-c< a\Rightarrow b^2-2bc+c^2< a^2\\c-a< b\Rightarrow c^2-2ac+a^2< b^2\end{cases}}\)
Cộng vế với vế các bđt trên => 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2( ab + bc + ca ) < a2 + b2 + c2
<=> a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) ( đpcm )