Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 1 ta có
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(2020a+2021b\right)\ge\left(\sqrt{2020}+\sqrt{2021}\right)^2\) ( BDT Bunhia )
do đó
\(a+b=ab.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(2020a+2021b\right)\ge\left(\sqrt{2020}+\sqrt{2021}\right)^2\)
vậy ta có đpcm.
bài 2.
ta có \(VT=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\le2\)( BDT Bunhia )
\(VP=y^2+2.\sqrt{2019}y+2021=\left(y+\sqrt{2019}\right)^2+2\ge2\)
suy ra PT có nghiệm \(\hept{\begin{cases}x-3=5-x\\y+\sqrt{2019}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=-\sqrt{2019}\end{cases}}}\)
TK: Câu hỏi của Hà Phương Linh - Toán lớp 9 - Học trực tuyến OLM
Đk: \(\forall x\in R\)
Ta có:\(\sqrt{x^2+1-2x}+\sqrt{x^2+4x+4}=\sqrt{1+2020^2+\frac{2020^2}{2021^2}}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x+2\right)^2}=\sqrt{1+2020^2+2.2020+\frac{2020^2}{2021^2}-2.2020}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=\sqrt{\left(1+2020\right)^2+\frac{2020^2}{2021^2}-2.2020}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=\sqrt{\left(2021-\frac{2020}{2021}\right)^2}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=\frac{2021^2-2020}{2021}+\frac{2020}{2021}\)
<=> \(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|=2021\)
Lập bảng xét dầu
x -2 1
x - 1 - | - 0 +
x + 2 - 0 + | -
Xét các TH xảy ra :
TH1: x \(\le\)-2 => pt trở thành: 1 - x - x - 2 = 2021
<=> -2x = 2022 <=> x = -1011 (tm)
TH2: \(-2< x\le1\) => pt trở thành: 1 - x + x + 2 = 2021
<=> 0x = 2018 (vô lí) => pt vô nghiệm
TH3: \(x>1\) => pt trở thành: x - 1 + x + 2 = 2021
<=> 2x = 2020 <=> x = 1010 (tm)
Vậy S = {-1011; 1010}
b, \(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}\ge1\)
\(\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ac+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ac+2ac+2ab+2bc}\)( Bunhia dạng phân thức )
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3+2\left(ab+ac+bc\right)}=\frac{9}{3+6}=1\)( đpcm )
1.
Điều kiện x \ge \dfrac14x≥41.
Phương trình tương đương với \left(\sqrt2.\sqrt{2x^2+x+1}-2\right)-\left(\sqrt{4x-1}-1\right)+2x^2+3x-2 = 0(2.2x2+x+1−2)−(4x−1−1)+2x2+3x−2=0 \Leftrightarrow \dfrac{4x^2+2x-2}{\sqrt2.\sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac{4x-2}{\sqrt{4x-1}+1} + (x+2)(2x-1) = 0⇔2.2x2+x+1+24x2+2x−2−4x−1+14x−2+(x+2)(2x−1)=0\\ \Leftrightarrow (2x-1)\left(\dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2\right) = 0⇔(2x−1)(22x2+x+1+22(x+1)−4x−1+12+x+2)=0
\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x =\dfrac12\\ & \dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2 = 0\\ \end{aligned}\right.⇔⎣⎢⎢⎢⎡x=2122x2+x+1+22(x+1)−4x−1+12+x+2=0
Với x \ge \dfrac14x≥41 ta có:
\dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} > 022x2+x+1+22(x+1)>0
- \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} \ge -2−4x−1+12≥−2
x + 2 > 2x+2>2.
Suy ra \dfrac{2(x+1)}{\sqrt2 \sqrt{2x^2+x+1}+2} - \dfrac2{\sqrt{4x-1}+1} + x + 2 > 022x2+x+1+22(x+1)−4x−1+12+x+2>0.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = \dfrac12.x=21.
2.
Đặt P = \dfrac{a^3}{b+2c} + \dfrac{b^3}{c+2a} + \dfrac{c^3}{a+2b}P=b+2ca3+c+2ab3+a+2bc3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \dfrac{9a^3}{b + 2c}b+2c9a3 và (b+2c)a(b+2c)a ta có
\dfrac{9a^3}{b+2c} + (b+2c)a \ge 6a^2b+2c9a3+(b+2c)a≥6a2.
Tương tự \dfrac{9b^3}{c+2a} + (c+2a)b \ge 6b^2c+2a9b3+(c+2a)b≥6b2, \dfrac{9c^3}{a+2b} + (a+2b)c \ge 6c^2a+2b9c3+(a+2b)c≥6c2.
Cộng các vế ta có 9P + 3(ab+bc+ca) \ge 6(a^2+b^2+c^2)9P+3(ab+bc+ca)≥6(a2+b2+c2).
Mà a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca = 4a2+b2+c2≥ab+bc+ca=4 nên P \ge 1P≥1 (ta có đpcm).