KV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
9 tháng 4 2018
a, Áp dụng \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x,y>0\)
Ta có: \(A=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
b, Áp dụng \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\forall x,y,z>0\)
Ta có: \(B=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2+\left(1+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+\frac{9}{a+b+c}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(3+6\right)^2}{3}=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
* Các BĐT phụ bạn tự CM nha! Chúc bạn học tốt
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 4 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(B=\frac{1}{(a+2b)(a+2c)}+\frac{1}{(b+2a)(b+2c)}+\frac{1}{(c+2a)(c+2b)}\)
\(\geq \frac{9}{(a+2b)(a+2c)+(b+2a)(b+2c)+(c+2a)(c+2b)}\)
\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{(a^2+2ac+2ab+4bc)+(b^2+2bc+2ab+4ac)+(c^2+2bc+2ac+4ab)}\)
\(\Leftrightarrow B\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+8(ab+bc+ac)}=\frac{9}{(a+b+c)^2+6(ab+bc+ac)}(*)\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cô-si:
\(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\)
\(\Rightarrow 2(a+b+c)^2\geq 6(ab+bc+ac)(**)\)
Từ \((*); (**)\Rightarrow B\geq \frac{9}{(a+b+c)^2+2(a+b+c)^2}=\frac{3}{(a+b+c)^2}\geq \frac{3}{3^2}=\frac{1}{3}\)
(do \(a+b+c\leq 3)\)
Do đó: \(B_{\min}=\frac{1}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
AK
1
TL
14 tháng 5 2017
A = \(\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\) + a
<=> A= \(\dfrac{ab\left(a-b\right)}{ab\left(a-b\right)}+\dfrac{a}{ab\left(a-b\right)}\)
<=> A= \(\dfrac{a\left(ab-b^2+1\right)}{ab\left(a-b\right)}\)
<=> A=\(\dfrac{ab-b^2+1}{ba-b^2}\)
<=> A=1 + \(\dfrac{1}{ab-b^2}\)
KK
11 tháng 3 2018
A=\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)
= \(\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)
= \(2+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}\)
⇔\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
⇔\(2+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge4\)
⇔ A ≥4
=> Min A =4
dấu "=" xảy ra khi
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\)
⇔a2=b2
⇔a=b
vậy Min A =4 khi a=b
7 tháng 4 2020
Ta có: \(P=1+\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)+\left(\frac{1}{a^3b^3}+\frac{1}{b^3c^3}+\frac{1}{a^3c^3}+\frac{1}{a^3b^3c^3}\right)\)
\(P\ge a+\frac{3}{abc}+\frac{3}{a^2b^2c^2}+\frac{1}{a^3b^3c^3}=\left(1+\frac{1}{abc}\right)^3\) (BĐT Cosi cho 3 số dương)
Theo BĐT Cosi \(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=8̸\)\(\Rightarrow abc\le8\Rightarrow\frac{1}{abc}\ge\frac{1}{8}\)
Vậy \(P\ge\left(1+\frac{1}{8}\right)^3=\frac{729}{512}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=2
PN
4
28 tháng 8 2020
\(S=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}+4\)
Dễ có:\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\ge\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{8}{\left(a+b\right)^2}=8\)
Khi đó:\(S\ge\frac{1}{2}+8+4=\frac{25}{2}\)
Vậy ta có đpcm
Ta có : A = \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)= \(\left(a-b\right)+\frac{1}{b\left(a-b\right)}+b\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số không âm , ta có
\(\left(a-b\right)+\frac{1}{b\left(a-b\right)}+b\) \(\ge3\sqrt[3]{\left(a-b\right)\frac{1}{b\left(a-b\right)}b}\)= 3
Dấu "=" xảy ra khi (a-b)=\(\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)= b
=> a=2 , b=1
Vậy Min A = 3 khi a=2, b=1