Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
sai đề nha phải là\(\dfrac{a-2ab-b}{2a+3ab-2b}\) nha
ta có \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=1\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{ab}=1\Leftrightarrow b-a=ab\)
Đặt A=\(\dfrac{a-2ab-b}{2a+3ab-2b}\)
A=\(\dfrac{a-2\left(b-a\right)-b}{2a+3\left(b-a\right)-2b}\) (vì b-a=ab)
A=\(\dfrac{a-2b+2a-b}{2a+3b-3a-2b}\)
A=\(\dfrac{3a-3b}{b-a}=\dfrac{3\left(a-b\right)}{-\left(a-b\right)}=-3\)
do a>0, b>0 nên 1=a+b+3ab\(\ge3\sqrt[3]{3\left(ab\right)^2}\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{3\left(ab\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{27}\ge3\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{81}\ge\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{9}\ge ab\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt{ab}\)do đó
P=\(\frac{6ab}{a+b}-a^2-b^2=\frac{6ab}{a+b}-\left(a^2+b^2\right)\le\frac{6ab}{2\sqrt{ab}}-2ab=-2ab+3\sqrt{ab}=-2\left(ab-\frac{3}{2}\sqrt{ab}\right)\)
\(=-2\left[ab-2\sqrt{ab}\cdot\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)^2-\frac{5}{6}\sqrt{ab}\right]\)
\(=-2\left(\sqrt{ab}-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{9}+\frac{5}{3}\sqrt{ab}\le\frac{2}{9}+\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{7}{9}\)
vậy maxP=\(\frac{7}{9}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b>0\\a+b+3ab=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(\frac{1}{1+3ab+a^2}+\frac{1}{1+3ab+b^2}\ge\frac{4}{2+a^2+2ab+b^2+4ab}\)\(=\frac{4}{2+\left(a+b\right)^2+4ab}\) (1)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(4ab=4.\sqrt{ab}.\sqrt{ab}\le\frac{4.\left(a+b\right)^2}{4}=\left(a+b\right)^2=1\)(2)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+3ab+a^2}+\frac{1}{1+3ab+b^2}\ge\frac{4}{2+\left(a+b\right)^2+4ab\ge}\frac{4}{3+\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{4}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
P/s : Làm siêu tắt
Ta có :
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)^5+\left(1+\frac{b}{a}\right)^5\ge\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)\left[\left(1+\frac{a}{b}\right)^3+\left(1+\frac{b}{a}\right)^3\right]\ge\left(1+\frac{a}{b}\right)^2\left(1+\frac{b}{a}\right)^2\left(2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\frac{\left(a+b\right)^2.\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}.\left(2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge\frac{4ab.4ab}{a^2b^2}.\left(2+2\right)=16.4=64\)
( AD BĐT phụ \(x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right);x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) và BĐT Cô - si )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b;a,b>0\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có:
\(\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(1+1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}\)\(\geq\) \(\dfrac{\left(1+1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2}{2}\) = \(\dfrac{\left(2+4\right)^2}{2}\) =18
Từ đó suy ra: \(\left(1+\dfrac{1}{a^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{b^2}\right)\)\(\geq\) 18
Dấu = xảy ra khi a=b= \(\dfrac{1}{2}\)
Vậy MinM = 18 khi và chỉ khi a=b=\(\dfrac{1}{2}\)
ủa trước khi đăng câu hỏi nó ko hiện cái bảng có n~ Câu hỏi tương tự à? Vào tìm hộ cái
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz\(A=\dfrac{1}{1+3ab+a^2}+\dfrac{1}{1+3ab+b^2}\)
\(A=\dfrac{1}{1+2ab+ab+a^2}+\dfrac{1}{1+3ab+b^2}\)
\(A\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{1+2ab+ab+a^2+1+3ab+b^2}\)
\(A\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2+4ab+2}=\dfrac{4}{3+4ab}\)
Mặt khác theo AM-GM: \(4ab\le\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{3+4ab}\ge\dfrac{4}{3+\left(a+b\right)^2}=\dfrac{4}{3+1}=1\)
\(\Rightarrow A\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Tính ra là lớp 8 luôn ak