SV
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
9 tháng 3 2019
\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}=8\left(a^4+b^4+0,5^4+0,5^4\right)+\frac{1}{ab}-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}\ge8.4.\sqrt[4]{a^4.b^4.0,5^4.0,5^4}+\frac{1}{ab}-1=8.ab+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge2.\sqrt{8ab.\frac{1}{2ab}}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}-1=4+2-1=5\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
9 tháng 3 2019
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz và AM-GM ta có: ( link c/m Cauchy-schwarz: Xem câu hỏi )
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2.\sqrt{\frac{1}{a^2}.4}+2.\sqrt{\frac{1}{b^2}.4}-4=\frac{1}{2}+2.\frac{2}{a}+2.\frac{2}{b}-4\ge\frac{1}{2}+\frac{\left(2+2\right)^2}{a+b}-4=12,5\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=0,5
Theo mình đề bài là chứng minh \(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge12,5\)
Tham khảo nhé~
4 tháng 4 2020
a/CM: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)
CM: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) ( luôn đúng)
b/CM: \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\left(a^3+b^3\right)}{8}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge3a^2b+3ab^2\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)
c/CM: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2+ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+\frac{2ab}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\) ( luôn đúng)
d/Ta xét hiệu: \(a^4-4a+3\)
\(=a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\)
\(=\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)
Suy ra BĐT luôn đúng
e/Ta xét hiệu:( Làm nhanh)
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)
f/Ta có: \(\frac{a^6}{b^2}-a^4+\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^6}{a^2}-b^4+\frac{a^2b^2}{4}\)
\(=\left(\frac{a^3}{b}-\frac{ab}{2}\right)^2+\left(\frac{b^3}{a}-\frac{ab}{2}\right)^2\ge0\)(1)
Mà \(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{a^2b^2}{4}\ge0\)(2)
Lấy (1) trừ (2) được: \(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}-a^4-b^4\ge0\RightarrowĐPCM\)
g/Làm rồi..xem lại trong trang cá nhân
h/Xét hiệu có: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)-\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(=a^5b+ab^5-a^2b^4-a^4b^2\)
\(=a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\)
\(=ab\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\)
\(=ab\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall ab>0\)
Suy ra ĐPCM
ND
31 tháng 3 2018
a.
Xét hiệu:
\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\)
\(=a^2-ab+b^2-ab=a^2-2ab+b^2\)
\(=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
b.
Xét hiệu:
\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=\left(a^4-a^3b\right)-\left(b^4-ab^3\right)\)
\(=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
ND
31 tháng 3 2018
a)
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\forall a,b>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b)
\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^4-ab^3+b^4-a^3b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a^3-b^3\right)-b\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
c)
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)-\left(\sqrt{ab}+1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow1+b+a+ab-ab-2\sqrt{ab}-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)
d)
\(\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được
\(\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\dfrac{a^3}{b}.ab}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{b^3}{c}+bc\ge2b^2,\dfrac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ac\right)\)
Mặt khác ta có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (hệ quả bất đẳng thức AM-GM)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z;x,y,z>0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 6 2020
a/ \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
b/ \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
c/ \(\Leftrightarrow a^2+2a< a^2+2a+1\)
\(\Leftrightarrow0< 1\) (hiển nhiên đúng)
d/ \(\Leftrightarrow m^2-2m+1+n^2-2n+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=n=1\)
e/ \(\Leftrightarrow1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
30 tháng 3 2018
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
11 tháng 5 2017
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11