NT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
4 tháng 2 2020
\(0< a< 1\Rightarrow a^2< a\)
Tương tự: \(b^2< b;c^2< c\)
=> a^2+b^2+c^2<a+b+c=2
4 tháng 2 2020
Ta có: \(0< a< 1\)
\(\Rightarrow a-1< 0\)
\(\Rightarrow a^2-a< 0\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(0< b< 1\Rightarrow b^2-b=a\left(2\right)\)
Và: \(0< c< 1\Rightarrow c^2-c< 0\left(3\right)\)
Cộng: \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\) vế theo vế ta được:
\(a^2+b^2+c^2-a-b-c< 0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(a+b+c=2\right)\)
NH
1
HN
1
LH
13 tháng 1 2020
Ta có: 0 < a < 1 ; 0 < b < 1 ; 0 < c < 1
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(a+1\right)< 0\\b\left(b+1\right)< 0\\c\left(c+1\right)< 0\end{cases}}\)
Cộng vế với vế. Ta được:
\(a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)< 0\)
\(a^2+a+b^2+b+c^2+c< 0\)
\(a^2+b^2+c^2< a+b+c\)
Mà a + b + c = 2
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(đpcm\right)\)
P/s: Không chắc đâu nhé :D
TB
9 tháng 11 2015
cau 1 ne:
a^2 + b^2 + c^2 + 3
theo bat dang thuc cosi ban se co
a^2 + a + 1 >= 3a
b^2 + b + 1 >= 3b
c^2 + c + 1 >= 3c
cong 3 ve bat dang thuc lai voi nhau ban se co
a^2 + b^2 + c^2 + (a + b + c) + 3>= 3(a + b + c)
=> a^2 + b^2 + c^2 + 3 >= 2(a + b + c)
dau = xay ra <=> a= b= c = 1
ma theo de bai ta lai co a^2 + b^2 + c^2 + 3 = 2(a + b + c)
=> a = b = c = 1 (dpcm)
b) (a - b)^2 + (b-c)^2 + (c - a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
hay (a + b - 2b)^2 + (b + c - 2c)^2 + (c + a - 2a)^2 = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2
dat. a + b = A
b + c = B
c + a = C
=> ban se co:
(A - 2b)^2 + (B - 2c)^2 + (C - 2a)^2 = (A - 2c)^2 + (B - 2a)^2 + (C - 2b)^2
tu day ban nhan pha ra roi rut gon 2 ve cho nhau ban se co
Ab + Bc + Ca = Ac + Ba + Cb
hay (a + b)b + (b + c)c + (c + a)a = (a + b)c + (b + c)a + (c + a)b
hay ab + b^2 + bc + c^2 + ac + a^2 = 2ab + 2bc + 2ac
hay a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0
hay 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0
hay (a-b)^2 + (b-c)^2 +(c - a)^2 = 0
dau = xay ra <=> a = b = c (dpcm)
c) a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = (a + b)(a^2 -ab +b^2) + (c+d)(c^2 - cd + d^2) (**)
ban nhan thay a + b + c + d = 0
=> a + b = - c - d
thay vao pt (**) ban se co
-(c + d)(a^2 - ab + b^2) + (c + d)(c^2 - cd + d^2)
(c + d)(c^2 - cd + d^2 -a^2 + ab - b^2)
hay (c + d)(ab - cd + (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)) (***)
ban co a + b = - c - d
hay (a + b)^2 = (c + d)^2
hay a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + d^2 + 2cd
hay c^2 + d^2 - a^2 - b^2 = 2ab - 2cd
thay vao pt (***) ban se co
(c + d)(ab - cd + 2ab - 2cd)
hay (c +d)(3ab - 3cd) = 3(c+d)(ab - cd) (dpcm)
Vì \(0\le a,b,c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c=2\)
Lời giải:
Vì \(0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow (ab-a-b+1)(c-1)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ac)+(a+b+c)-1\leq 0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq abc+a+b+c-1=abc+1\geq 1\) do \(abc\geq 0\)
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=4-2(ab+bc+ac)\)
Mà \(ab+bc+ac\geq 1\) (cmt) nên \(a^2+b^2+c^2=4-2(ab+bc+ac)\leq 2\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(1,1,0)\) hoặc hoán vị của chúng.