Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b/
\(a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^6}=3a^2\)
Tương tự: \(2b^3+1\ge3b^2\) ; \(2c^3+1\ge3c^2\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\)
Mặt khác ta lại có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)-3\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3-3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(\frac{a^3}{\left(b+2\right)^2}+\frac{b+2}{27}+\frac{b+2}{27}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(b+2\right)^2}{27^2.\left(b+2\right)^2}}=\frac{a}{3}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{\left(c+2\right)^2}+\frac{c+2}{27}+\frac{c+2}{27}\ge\frac{b}{3}\) ; \(\frac{c^3}{\left(a+2\right)^2}+\frac{a+2}{27}+\frac{a+2}{27}\ge\frac{c}{3}\)
Cộng vế với vế:
\(VT+\frac{2\left(a+b+c\right)+12}{27}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{2}{3}\ge1\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{3}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Note: Em không chắc.Rất mong được mọi người góp ý ạ,em chưa biết cách dùng sos nên đành dùng cách khác ạ.
BĐT \(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^{ 4}+b^4+c^4+ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ca\left(c^2+a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)-ab\left(a^2+b^2\right)-bc\left(b^2+c^2\right)-ca\left(c^2+a^2\right)\ge0\) (*)
Dễ thấy BĐT trên là hệ quả của BĐT sau: \(a^4-ab\left(a^2+b^2\right)+b^4\ge0\) (1)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)(2). Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có:
\(VT=\frac{\left(a^2\right)^2}{1}+\frac{\left(b^2\right)^2}{1}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\)
Ta luôn có \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\inℝ\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Suy ra: \(VT=a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)=VP\)
Do vậy BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) đúng (do 2 BĐT này tương đương nhau)
Tương tự với hai BĐT còn lại ta cũng có: \(b^4-bc\left(b^2+c^2\right)+c^4\ge0\);
\(c^4-ca\left(c^2+a^2\right)+a^4\ge0\). Cộng theo vế 3 BĐT trên suy ra (*) đúng hay ta có Q.E.D
\(2a^4+a+2b^4+b+2c^4+c\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)-3\)
\(=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1-9\)
\(\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\left(a+b+c\right)-9=2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)
Bạn Hiển nên xem lại vì đúng như Hiếu nói nếu Min a2+b2=0<=> a=b=0 thì pt ban đầu <=> x4+1=0
Nếu như bạn tìm nghiệm trên tập R thì pt này chắc chắn vô nghiệm, còn nếu như bạn tìm nghiệm trên tập C (tập số phức, lớp 12 mới học) thì nghiệm là \(\sqrt{i}\) và -\(\sqrt{i}\) (i là một số sao cho i2=-1, là phần ảo của số phức).
VẬY CHO MÌNH HỎI PT KIA CÓ NGHIỆM Ở TẬP NÀO? Trả lời rồi bạn hãy phán ngu hay không ngu.
\(\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ac=-2009\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=-\dfrac{2009}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=\dfrac{4036081}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=\dfrac{4036081}{4}\)
\(a^2+b^2+c^2=2009\)
nên \(a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)=4036081\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=\dfrac{4036081}{2}\)
1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)
<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)
<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)
Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)
Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)
Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)
Kết luận:...