Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
* Chứng minh tổng hai phân số dương nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng 2 :
Cho phân số : \(\frac{a}{b}\) \(\left(a,b\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Do đó :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) ( điều phải chứng minh )
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Chúc bạn học tốt ~
\(a)\) Ta có :
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Vì tổng của hai phân số nguyên dương nghịch đảo sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng 2 nên ta được :
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\\\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\end{cases}}\)
Cộng theo vế ba đẳng thức trên ta có :
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2+2+2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
\(\Leftrightarrow\)\(S\ge6\)
Vậy \(S\ge6\)
\(b)\) Vì \(S\ge6\) nên \(S_{min}=6\) khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt ~
a)
Cách 1: Do \(a,b,c\inℕ^∗\)nên \(a,b,c\ge1\). Do đó:
\(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6\)
Cách 2 (không thông dụng lắm, mình tự nghĩ ra)
Dự đoán: \(a=b=c\)
Do đó: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{2a}{a}+\frac{2a}{a}+\frac{2a}{a}=\frac{a\left(2+2+2\right)}{a}=6\) (do a = b = c nên ta thế b, c = a) (đpcm)
b) Từ kết quả a) ta dễ thấy GTNN của S là 6
Bài 1 :
Ta có : \(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Ta chứng minh BĐT \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)
Thật vậy : BĐT \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\) ( đúng )
Vậy \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2,\forall x,y>0\)
Áp dụng vào bài toán ta có : \(S\ge2+2+2=6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy min \(S=6\) tại \(a=b=c\)
a) \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Tổng của hai phân số dương nghịch đảo bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 2 nên :
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\) ; \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\) ; \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge2+2+2=6\)
b) \(S\ge6\) nên GTNN của S là 6 ( \(\Leftrightarrow\) a = b =c )
a] Ta có : \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right)\); \(S=\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
\(\Rightarrow S\ge2+2+2=6\)
b] Ta có \(S=6\Leftrightarrow a=b=c\)
GTNN của S =6
bạn giải rõ cho mình với...mình cầu xin bạn đó Nguyễn Thị Hương
a)\(S=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}=\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\)
Áp dụng BĐT cosi:
\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{ca}}=2\)
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\)
\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\)
=>S\(\ge\)6
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{a}\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\\\dfrac{c}{b}=\dfrac{b}{c}\end{matrix}\right.\)<=>a=b=c
b)S\(\ge\)6
=>GTNN của S=6 xảy ra khi a=b=c
\(S=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
\(S=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
LÀm tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\\\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\\\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\ge2\end{cases}}\Rightarrowđpcm\)
Vậy GTNN của S =6 khi a=b=c
\(a,S=\left[\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right]+\left[\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right]+\left[\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\right]\)
\(S=\left[\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right]+\left[\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right]+\left[\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right]\)
\(S\ge2+2+2=6\)
\(b,GTNN\)của \(S=6\Leftrightarrow a=b=c\inℕ\)