NV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 10 2024
Lời giải:
$a^5+b^5+c^5=(a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)+(a+b+c)$
Giờ ta sẽ cmr với mọi số nguyên $x$ nào đó, $x^5-x\vdots 5$
Thật vậy:
$x^5-x=x(x^4-1)=x(x^2-1)(x^2+1)$
Nếu $x$ chia hết cho $5$ thì hiển nhiên $x^5-x\vdots 5$
Nếu $x$ không chia hết cho $5$: Do tính chất 1 số chính phương khi chia cho $5$ dư $0,1,4$, mà $x\not\vdots 5$ nên $x^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$.
+ Khi $x^2$ chia $5$ dư $1$ thì $x^2-1\vdots 5\Rightarrow x^5-x=x(x^2-1)(x^2+1)\vdots 5$
+ Khi $x^2$ chia $5$ dư $4$ thì $x^2+1\vdots 5\Rightarrow x^5-x=x(x^2-1)(x^2+1)\vdots 5$
Vậy tóm lại $x^5-x\vdots 5, \forall x\in\mathbb{Z}$
Áp dụng vào bài toán:
$a^5-a\vdots 5; b^5-b\vdots 5; c^5-c\vdots 5; a+b+c\vdots 5$
$\Rightarrow a^5+b^5+c^5\vdots 5$
2T
13 tháng 8 2019
Câu hỏi của trần thị bảo trân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi trên là c/m \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Vậy thì suy ra được \(a^3+b^3+c^3⋮3abc\)
Mấy câu còn lại tương tự
DP
1
19 tháng 11 2017
Ta có: (a^5-a)= a(a^4-1)
= a(a^2-1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2+1)
= a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)
= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) + 5a(a-1)(a+1)
Do a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
5a(a-1)(a+1) chia hết cho 2,3,5 => chia hết cho 2.3.5=30
=> a^5-a chia hết cho 30
=> (a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c) chia hết cho 30
Mà a+b+c chia hết cho 30
=> a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30
NV
0
DL
1
4 tháng 8 2019
Ta thấy : \(a^5-a=a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right).\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4+5\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
Ta có :\(\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)là tích 5 số tự nhiên liên tiếp :
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(5\)và cũng \(⋮\)\(6\)( cũng là 3 số tự nhiên liên tiếp )
\(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(1\right)\)
Ta lại có : \(5\)\(⋮\)\(5\)và \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(6\)
\(\Rightarrow5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)\(\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)\(⋮\)\(30\)
Hay \(a^5-a\)\(⋮\)\(30\)
Tương tự \(b^5-b\)và \(c^5-c\)cũng chia hết cho 30
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5-\left(a+b+c\right)\)\(⋮\)\(30\)
Mà \(a+b+c\)\(⋮\)\(30\)
\(\Rightarrow a^5+b^5+c^5\)\(⋮\)\(30\)\(\left(đpcm\right)\)
T
9 tháng 8 2017
4. \(A=\left(a^{2012}-a^{2008}\right)+\left(b^{2012}-b^{2008}\right)+\left(c^{2012}-c^{2008}\right)\)
\(=a^{2008}\left(a^4-1\right)+b^{2008}\left(b^4-1\right)+c^{2008}\left(c^4-1\right)\)
\(=a^{2008}\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)+b^{2008}\left(b^2-1\right)\left(b^2+1\right)+c^{2008}\left(c^2-1\right)\left(c^2+1\right)\)
\(=a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)+b^{2007}\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\left(b^2+1\right)+c^{2007}\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\left(c^2+1\right)\)
Dễ thấy a-1, a, a+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\)
Tương tự đối với b và c ta suy ra \(A⋮6\) (1)
Xét các số dư của a cho 5
- Nếu \(a⋮5\) thì \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)
- Nếu a chia 5 dư 1 thì \(\left(a-1\right)⋮5\) hay \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)
- Nếu a chia 5 dư 2 hoặc 3 thì \(\left(a^2+1\right)⋮5\) hay \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)
- Nếu a chia 5 dư 4 thì \(\left(a+1\right)⋮5\) nên \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\)
Như vậy \(\left[a^{2007}\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\right]⋮5\) \(\forall a\in Z_+\)
Tương tự \(\left[b^{2007}\left(b-1\right)b\left(b+1\right)\left(b^2+1\right)\right]⋮5\)
và \(\left[c^{2007}\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\left(c^2+1\right)\right]⋮5\)
Do đó \(A⋮5\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(A⋮30\)
Do a,b,c chia hết cho 5 nên a5,b5,c5 chia hết cho 5
Suy ra a5+b5+c5 chia hết cho 5