Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)
<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)
<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)
Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)
Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)
Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)
Kết luận:...
Ta có x,y,z là các số thực dương
Khi đó : \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0.\)
\(\Leftrightarrow5\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2}+\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}-\frac{9x}{y+z}-\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}=0\)
\(\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-\frac{9x}{y+z}=\frac{18yz}{\left(y+z\right)^2}-\frac{5\left(y^2+z^2\right)}{\left(y+z\right)^2}\)
\(\le\frac{\frac{18\left(y+z\right)^2}{4}}{\left(y+z\right)^2}-\frac{\frac{5\left(y+z\right)^2}{2}}{\left(y+z\right)^2}=\frac{18}{4}-\frac{5}{2}=2.\)
\(\Rightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}\le2.\)
Đặt \(\frac{x}{y+z}=a>0\)ta được \(5a^2-9a-2\le0\)
\(\Leftrightarrow5a^2-10a+a-2\le0\Leftrightarrow\left(5a+1\right)\left(a-2\right)\le0\)
Dễ thấy \(5a+1>0\)\(\Rightarrow a-2\le0\Leftrightarrow a\le2\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2.\)
Ta có: \(Q=\frac{2x-y-z}{y+z}=\frac{2x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}y=z\\\frac{x}{y+z}=2\end{cases}\Leftrightarrow x=4y=4z}\)
Vậy Giá trị lớn nhất của \(Q=3\Leftrightarrow x=4y=4z.\)
Ta có \(x^2+y^2\ge2xy\)=>\(xy\le\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{A}=\frac{1}{-2xy}-\frac{1}{2}\le-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)
=> \(A\ge-\frac{2}{3}\)
\(MinA=-\frac{2}{3}\)khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Trần Phúc Khang: bài này cần gì phải làm phức tạp vậy a
c/m: \(xy\le\frac{1}{2}\)( như bài Trần Phúc Khang)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(A=\frac{-2xy}{1+xy}\ge\frac{-2.\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\frac{3}{2}}=-\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
KL:.............................
F=x3+y3+2xy=(x+y)3-3xy(x+y)+2xy
=(x+y)3-xy(3x+3y-2)
=20073-xy[3.2007-2]
làm tiếp đi
chú ý \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(bđt AM-GM)
Đầu tiên tìm GTLN, GTNN của xy.
Không mất tính tổng quát giả sử:
\(x\ge y+1\)
\(\Leftrightarrow x-y-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow x-y-1+xy\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y+1\right)\ge xy\)
Từ đây ta suy được:
\(2006.1< 2005.2< 2004.3< ...< 1003.1004\)
Vậy \(min_{xy}=2006.1;max_{xy}=1003.1004\)
Ta lại có:
\(F=\left(x+y\right)^3-xy\left(3x+3y-2\right)\)
Thế vô là xong
Ta có \(x^2+y^2=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=2xy+1\)
Từ đó \(P=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y+1}\). Đặt \(x+y=t\left(t\ge0\right)\). Vì \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=2\) nên \(t\le\sqrt{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Ta cần tìm GTLN của \(P\left(t\right)=\dfrac{t^2}{t+1}\) với \(0\le t\le\sqrt{2}\).
Giả sử có \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\). Ta có BDT luôn đúng \(\left(t_2-t_1\right)\left(t_2+t_1+t_2t_1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow t_2^2-t_1^2+t_2^2t_1-t_2t_1^2\ge0\) \(\Leftrightarrow t_1^2\left(t_2+1\right)\le t_2^2\left(t_1+1\right)\) \(\Leftrightarrow\dfrac{t_1^2}{t_1+1}\le\dfrac{t_2^2}{t_2+1}\) \(\Leftrightarrow P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Như vậy với \(0\le t_1\le t_2\le\sqrt{2}\) thì \(P\left(t_1\right)\le P\left(t_2\right)\). Do đó P là hàm đồng biến. Vậy GTLN của P đạt được khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\), khi đó \(P=2\sqrt{2}-2\)
Lời giải:
$P=\frac{2xy+1}{x+y+1}=\frac{2xy+x^2+y^2}{x+y+1}=\frac{(x+y)^2}{x+y+1}$
$=\frac{a^2}{a+1}$ với $x+y=a$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{a^2}{2}$
$\Rightarrow a^2\leq 2\Rightarrow a\leq \sqrt{2}$
$P=\frac{a^2}{a+1}=\frac{a}{1+\frac{1}{a}}$
Vì $a\leq \sqrt{2}\Rightarrow 1+\frac{1}{a}\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}=-2+2\sqrt{2}$
Vậy $P_{\max}=-2+2\sqrt{2}$ khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$