Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
O O E B A 1 2 M J C F I x K N
a) Gọi AM cắt (O2) tại N khác M. Khi đó: Dễ thấy: ^MFE=^MNE = ^MO2E/2 = ^MO1J/2 = ^MAJ
=> ^MFI = ^MCI (Do ^MAJ = ^MCI) => Tứ giác MCFI nội tiếp => ^JAM = ^MCI = ^MFI = ^MEB hay ^JAM = ^JEA
Từ đó: \(\Delta\)JAM ~ \(\Delta\)JEA (g.g) => JA2 = JM.JE (1)
Ta có: ^JIM = ^CIM = ^CFM = ^FEM => \(\Delta\)JIM ~ \(\Delta\)JEI (g.g) => IJ2 = JM.JE (2)
Từ (1);(2) suy ra: JA2 = IJ2 = JM.JE => \(JA=IJ=\sqrt{JM.JE}\) (đpcm).
b) Gọi Cx là tia đối tia CA. Ta có đẳng thức về góc: ^ICx = ^JCA = ^JMA = ^JAB (Vì \(\Delta\)JAM ~ \(\Delta\)JEA)
=> ^ICx = ^JAB = ^ICB => CI là tia phân giác ^BCx hay CI là tia phân giác ngoài tại C của \(\Delta\)ABC (đpcm).
c) Ta thấy: \(\Delta\)IKC ~ \(\Delta\)IJA, JA = JI (cmt) => KI = KC (3)
Theo câu b thì ^JAB = ^JCA = ^JBA => \(\Delta\)ABJ cân tại J => JA = JB = JI => \(\Delta\)IJB cân tại J
=> ^CBI = ^JBI - ^JBC = (1800 - ^IJB)/2 - ^JBC = (1800 - ^IJB - 2.^JBC)/2 = (1800 - ^BAJ - ^JBC)/2
= (^ACB + ^JBA - ^JAC)/2 = (^ACB + ^BAC)/2 => BI là phân giác ^CBE.
Từ đó I là tâm bàng tiếp ứng đỉnh A của \(\Delta\)ABC => AI là phân giác ^BAC
Do vậy, K là điểm chính giữa cung BC không chứa A của (O1) => KC = KB (4)
Từ (3);(4) suy ra: KB = KC = KI => K là tâm ngoại tiếp \(\Delta\)BCI (đpcm).
O O O N P H Q M 1 2 3
Do ba đường tròn (O1);(O2);(O3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau nên p(O1O2O3) = 5 + 7+ 9 = 21
Áp dụng công thức Hê-rông cho \(\Delta\)O1O2O3 ta có:
\(S_{O_1O_2O_3}=\sqrt{21\left(21-12\right)\left(21-16\right)\left(21-14\right)}=21\sqrt{15}\)
Và ta tính được \(O_3H=\frac{2S_{O_1O_2O_3}}{O_1O_2}=\frac{2.21\sqrt{15}}{5+7}=\frac{7\sqrt{15}}{2}\)
Áp dụng ĐL Pytagoras cho \(\Delta\)O2HO3: \(O_2H=\sqrt{O_2O_3^2-O_3H^2}=\sqrt{\left(7+9\right)^2-\left(\frac{7\sqrt{15}}{2}\right)^2}=\frac{17}{2}\)
Suy ra \(HM=O_2H-O_2M=\frac{17}{2}-5=\frac{7}{2}\)
Từ O3 hạ O3Q vuông góc với PN. Khi đó NP = 2PQ và tứ giác HMQO3 là hình chữ nhật
Áp dụng ĐL Pytagoras ta có \(PQ=\sqrt{O_3P^2-O_3Q^2}=\sqrt{7^2-HM^2}=\frac{7\sqrt{3}}{2}\)
Do vậy \(NP=2PQ=7\sqrt{3}\). Kết luận \(NP=7\sqrt{3}.\)