Question

[Nguyễn Lan Anh]

Cho 2 đa thức P(x)=x⁴+ax²+1 và Q(x)=x³+ax+1. Hãy xác định giá trị của a để P(x) và Q(x) có nghiệm chung

Answer 1

[GV]

Giả sử hai đa thức có nghiệm chung \(x_0\), ta thấy cả hai đa thức đều không nhận x = 0 là nghiêm nên \(x_0\ne0\) .

Ta có đồng thời:

   \(\hept{\begin{cases}x_0^4+ax_0^2+1=0\\x_0^3+ax+1=0\end{cases}}\)

Nhân cả hai vế của đẳng thức thứ hai với \(x_0\) rồi lấy đẳng thức thứ nhất trừ đi đẳng thức thứ hai ta được:

\(\left(x_0^4+ax_0^2+1\right)-x_0\left(x_0^3+ax_0+1\right)=0\)

=> \(1-x_0=0\)

=> \(x_0=1\)

Thức là nếu hai đa thức có nghiệm chung \(x_0\) thì nghiệm chung đó chỉ có thể bằng 1.

Để  x=1 là nghiệm chung của hai đa thức thì: \(1^4+a.1^2+1=0\) => a = -2