Câu hỏi của Phạm Dương Ngọc Nhi

Question

Bài 1. Giải phương trình :
$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^2-4x-2$

Bài 2. Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên không âm (x ; y; z) thoả mãn đẳng thức :
\(2...

Akai Haruma · Accepted Answer

Bài 1:
ĐKXĐ: $1\leq x\leq 3$

Ta có:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^2-4x-2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-1+\sqrt{3-x}-1=3x^2-4x-4$

$\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{2-x}{\sqrt{3-x}+1}=(x-2)(3x+2)$

$\Leftrightarrow (x-2)\left(3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0(1)$

Với mọi $1\leq x\leq 3$ ta luôn có $3x+2\geq 5; \frac{1}{\sqrt{3-x}+1}>0; \frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\leq 1$

$\Rightarrow 3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}>0(2)$

Từ (1);(2) suy ra $x-2=0\Rightarrow x=2$

Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất của pt đã cho.

Câu trả lời:

Bài 1:
ĐKXĐ: $1\leq x\leq 3$

Ta có:

$\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^2-4x-2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-1+\sqrt{3-x}-1=3x^2-4x-4$

$\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{2-x}{\sqrt{3-x}+1}=(x-2)(3x+2)$

$\Leftrightarrow (x-2)\left(3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0(1)$

Với mọi $1\leq x\leq 3$ ta luôn có $3x+2\geq 5; \frac{1}{\sqrt{3-x}+1}>0; \frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\leq 1$

$\Rightarrow 3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}>0(2)$

Từ (1);(2) suy ra $x-2=0\Rightarrow x=2$

Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất của pt đã cho.

Akai Haruma · Answer

Bài 2:

Với mọi $x,y,z$ nguyên không âm thì :

$2014^z=2012^x+2013^y\geq 2012^0+2013^0=2\Rightarrow z\geq 1$

Với $z\geq 1$ thì ta luôn có $2012^x+2013^y=2014^z$ là số chẵn

Mà $2013^y$ luôn lẻ nên $2012^x$ phải lẻ. Điều này chỉ xảy ra khi $x=0$

Vậy $x=0$

Khi đó ta có: $1+2013^y=2014^z$

Nếu $z=1$ thì dễ thu được $y=1$

Nếu $z>1$:

Ta có: $2014^z\vdots 4(1)$

Mà $2013\equiv 1\pmod 4\Rightarrow 1+2013^y\equiv 1+1\equiv 2\pmod 4$

Tức $1+2013^y\not\vdots 4$ (mâu thuẫn với (1))

Vậy PT có nghiệm duy nhất $(x,y,z)=(0,1,1)$