Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
. . A B C D M H I
a) Xét (O) có OB \(\perp\) CD
=> H là trung điểm của CD
=> HC=HD
Xét tứ giác ODBC có: H là trung điểm của OB,CD
=> tứ giác ADBC là hình bình hành
Mà: OC=OD(gt)
=> tứ giác ADBC là hình thoi
b)Vì tứ giác ADBC là hình thoi
=> OC=BC
Mà OC=OB(=R)
=> OC=OB=BC
=> ΔOBC là tam giác đều
=> góc BOC =60
c) Có: OB=BC(cmt)
Mà: OB=BM
=> OB=BC=BM
Xét ΔOCM có CB là đường trung tuyến
Mà: BC=OB=BM(cmt)
=> ΔOCM vuông tại C
=> góc ACM=90
=> MC là tiếp tuyến của (O)
Xét ΔOCM vuông tại C nên:
\(OM^2=OC^2+CM^2\) ( theo đl pytago)
=> \(MC^2=OM^2-OC^2=4R^2-R^2=3R^2\)
=> \(MC=\sqrt{3}R\)
d) Vì ODBC là hình thoi (cmt)
=> OB là đường phân giác của góc COD
=> góc COH= góc DOH
Có: góc COH+ góc HOI =90
hay: góc DOH+ góc HOI = 90
Mà: góc HOI+ góc HIO =90
=> DOH = góc HIO
Xét ΔHOI và ΔHDO có:
góc OHI : góc chung
góc HIO = góc DOH(cmt)
=> ΔHOI ~ΔHDO
=> \(\frac{OH}{HD}=\frac{HI}{OH}\Rightarrow HI\cdot HD=OH^2\)
CHứng minh tương tự ta cũng có:
\(HB\cdot HM=HC^2\)
Xét ΔOCH vuông tại H
=> \(OH^2+HC^2=OC^2\)
Nên: \(HI\cdot HD+HB\cdot HM=OH^2+HC^2=OC^2=R^2\)
B C D H I M O
a ) Xét \(\left(O\right)\)có \(OB\perp CD\)
\(\Rightarrow H\)là trung điểm của CD
\(\Rightarrow HC=HD\)
Xét tứ giác \(ODBC\)có :
H là trung điểm của OB và CD
\(\Rightarrow\)tứ giác ADBC là hình thoi
b ) Vì tứ giác ADBC là hình thoi
\(\Rightarrow OC=BC\)
Mà \(OC=OB\left(=R\right)\)
\(\Rightarrow OC=OB=BC\)
\(\Rightarrow\Delta OBC\)là tam giác đều
\(\Rightarrow\widehat{BOC}=60^0\)
c ) Ta có : OB = BC (cmt)
Mà OB = BM
\(\Rightarrow OB=BC=BM\)
Xét \(\Delta OCM\)có :
CB là đường trung tuyến
Mà : \(BC=OB=BM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta OCM\)vuông tại C nên :
\(OM^2=OC^2+CM^2\)( theo định lí Py - ta - go )
\(\Rightarrow MC^2=OM^2-OC^2=4R^2-R^2=3R^2\)
\(\Rightarrow MC=\sqrt{3}R\)
d ) Vì ODBC là hình thoi ( cmt )
\(\Rightarrow OB\)là đường phân giác của \(\widehat{COD}\)
\(\Rightarrow\widehat{COH}=\widehat{DOH}\)
Có : \(\widehat{COH}+\widehat{HOI}=90^0\)
Hay \(\widehat{DOH}+\widehat{HOI}=90^0\)
Mà \(\widehat{HOI}+\widehat{HIO}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DOH}=\widehat{HIO}\)
Xét \(\Delta HOI\)và \(HDO\)có :
\(\widehat{OHI}\): góc chung
\(\widehat{HIO}=\widehat{DOH}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta HIO~\Delta HDO\)
\(\Rightarrow\frac{OH}{HD}=\frac{HI}{OH}\Rightarrow HI.HD=OH^2\)
Chứng minh tương tự ta cũng có :
\(HB.HM=HC^2\)
Xét \(\Delta OCH\)vuông tại H
\(\Rightarrow OH^2+HC^2=OC^2\)
Nên : \(HI.HD+HB.HM=OH^2+HC^2=OC^2=R^2\)
Chúc bạn học tốt !!!
a) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AC.
- Vì I là trung điểm của BC nên IM // AH (vì I và H đều là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC).
- Ta có BM = MC (vì M là trung điểm của AC).
- Vì IM // AH và BM = MC nên tam giác IMC và tam giác AHM là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có: ∠IMC = ∠AHM.
- Nhưng ∠IMC = 90° (vì IM vuông góc với BC).
- Vậy, ta có: ∠AHM = 90°.
- Từ đó, ta suy ra AH vuông góc với BC.
b) Ta có:
- Gọi K là điểm đối xứng của H qua I.
- Vì I là trung điểm của BC nên IK // AH (vì I và H đều là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC).
- Vì K là điểm đối xứng của H qua I nên HK = HI.
- Ta có: AH = 2IK (vì I là trung điểm của BC và K là điểm đối xứng của H qua I).
- Vì CK // BD (vì CK và BD đều vuông góc với BC và đi qua điểm H) nên tam giác CKD và tam giác BHD là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có: CK/BD = DK/DH.
- Nhưng CK = BD (vì CK // BD) nên DK = DH.
- Vậy, ta có: DK = DH.
- Từ đó, ta suy ra tam giác ABK vuông.
c) Ta có:
- Gọi N là trung điểm của AB.
- Vì I là trung điểm của BC nên IN // AH (vì I và H đều là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC).
- Ta có: AN = NB (vì N là trung điểm của AB).
- Vì IN // AH và AN = NB nên tam giác INB và tam giác AHM là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có: ∠INB = ∠AHM.
- Nhưng ∠INB = 90° (vì IN vuông góc với AB).
- Vậy, ta có: ∠AHM = 90°.
- Từ đó, ta suy ra AH vuông góc với BM.
- Nhưng BM = MC (vì M là trung điểm của AC).
- Vậy, ta có: AH vuông góc với MC.
- Từ đó, ta suy ra tam giác BEA vuông.
d) Ta có:
- Gọi N là trung điểm của AB.
- Vì I là trung điểm của BC nên IN // AH (vì I và H đều là trung điểm của các cạnh của tam giác ABC).
- Ta có: AN = NB (vì N là trung điểm của AB).
- Vì IN // AH và AN = NB nên tam giác INB và tam giác AHM là hai tam giác đồng dạng.
- Do đó, ta có: ∠INB = ∠AHM.
- Nhưng ∠INB = 90° (vì IN vuông góc với AB).
- Vậy, ta có: ∠AHM = 90°.
- Từ đó, ta suy ra AH vuông góc với BM.
- Nhưng BM = MC (vì M là trung điểm của AC).
- Vậy, ta có: AH vuông góc với MC.
- Gọi D' là điểm đối xứng của D qua M.
- Ta có: MD' = MD (vì D' là điểm đối xứng của D qua M).
- Vì MD' vuông góc với BC và MD vuông góc với BC nên tam giác MBD' và tam giác MCD là hai tam giác vuông cân.
- Do đó, ta có: MB = MD' và MC = MD.
- Từ đó, ta suy ra MB.MC = MD.MD' = MD^2.
- Nhưng MD^2 = DC^2 - MC^2 (theo định lí Pythagoras).
- Vậy, ta có: MB.MC = DC^2 - MC^2.