Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
Bằng một số bước tính toán cơ bản, chúng ta có được:
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{x\left(x-z\right)^2}{2\left(x^2+z^2\right)}\ge0\)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương. Chứng minh rằng
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9xyz\).
Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có
x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}x+y+z≥33xyz và x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}x2+y2+z2≥33x2y2z2
Nhân theo vế hai bất đẳng thức này ta suy ra được đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=zx=y=z.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)\left[\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{3}\)(1)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)=> \(\left(x+y+z\right)^3\ge27xyz\)=> \(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{3}\ge9xyz\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{3}\ge9xyz\)
=> \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9xyz\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z
Cần chứng minh \(\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\),theo BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{\frac{y+z}{x}}\le\frac{x+y+z}{2x}=\frac{\frac{y+z}{x}+1}{2}\ge\sqrt{\frac{y+z}{x}}\) (đúng)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z};\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Dấu "=" ko xảy ra do ko có x;y;z thỏa mãn
\(\frac{y+z}{x}=\frac{x+z}{y}=\frac{x+y}{z}=1\) nên ta có ĐPCM
ta có \(\sum\) \(a+\frac{9}{16}a^2\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}\)
\(\Rightarrow\)\(\sum\) \(a\ge\frac{3}{2}\sqrt{a^3}-\frac{9}{16}a^2\)\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3}{2}(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}+\sqrt{c^3})-\frac{9}{16}(a^2+b^2+c^2)\ge\frac{9}{2}\sqrt{abc}-\frac{9}{16}.4\sqrt{abc}\)>\(2\sqrt{abc}\) theo bđt côsi
ĐPCM
có thể cảm ơn tôi tại đây https://diendantoanhoc.net/members/
Có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(x^2+y^2+z^2=\left(x^2+1\right)+\left(y^2+1\right)+\left(z^2+1\right)-3\ge2x+2y+2z-3\)
\(\ge x+y+z\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1