K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
29 tháng 5 2017
Bài 4:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-shwarz dạng engel ta có:
\(\dfrac{1}{a^2+2bc}+\dfrac{1}{b^2+2ca}+\dfrac{1}{c^2+2ab}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{9}{9}=1\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 1
\(\Rightarrowđpcm\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1 2020
Bài 1:
Ta có:
\(a^2+b^2-\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{2}=\frac{(a-b)^2}{2}\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$
N
10 tháng 8 2017
\(BĐT\Leftrightarrow\sum\dfrac{2bc}{1+a^2}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\sum\dfrac{-2bc}{2a^2+b^2+c^2}\ge-\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{2a^2+\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{2}\)
ÁP dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\sum\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
và \(\sum\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}=\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(a-c\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{4\left(a-c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a-c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)
( Lưu ý : \(\left(c-a\right)^2=\left(a-c\right)^2\)) (1)
Do vậy cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a-c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)^2+4\left(a-c\right)^2\ge6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc-ac-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) (*)
(*) không phải luôn đúng, tuy nhiên ta có thể ép cho nó đúng .
bằng cách đáng giá tương tự BĐT (1) :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(b-a\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(b-a\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\\\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(c-b\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(c-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\end{matrix}\right.\)
ta thu được BĐT cần chứng minh tương đương \(\left\{{}\begin{matrix}\left(b-c\right)\left(c-a\right)\ge0\left(3\right)\\\left(c-a\right)\left(a-b\right)\ge0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Dễ thấy \(\left(a-b\right)\left(b-c\right).\left(b-c\right)\left(c-a\right).\left(c-a\right)\left(a-b\right)=\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\ge0\)
tích của chúng là 1 số không âm nên có ít nhất 1 số không âm .Chứng tỏ có ít nhất 1 BĐT đúng
Do đó ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
7 tháng 2 2019
Do a , b ,c đối xứng , giả sử a \(\ge b\ge c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\ge b^2\ge c^2\\\dfrac{a}{b+c}\ge\dfrac{b}{a+c}\ge\dfrac{c}{a+b}\end{matrix}\right.\)
Áp dụng BĐT Trê - bư -sép ta có :
\(a^2.\dfrac{a}{b+c}+b^2.\dfrac{b}{a+c}+c^2.\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}.\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\right)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\)Vậy \(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{a+c}+\dfrac{c^3}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\) Dấu bằng xảy ra khi a = b =c = \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
3 tháng 8 2017
Chứng minh rằng: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
KK
24 tháng 5 2018
Ta có \(\dfrac{a^2}{a+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b\sqrt{a}}=a-\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(VT\ge3-\left(\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}\right)\)
Xét \(\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}=\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{4a}}+\sqrt{\dfrac{b^2c^2}{4b}}+\sqrt{\dfrac{a^2c^2}{4c}}\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có \(\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{4a}}=\sqrt{\dfrac{ab}{2a}.\dfrac{ab}{2}}\le\dfrac{\dfrac{b}{2}+\dfrac{ab}{2}}{2}\)
Thiết lập tương tự và thu lại ta có :
\(\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}\le\dfrac{\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{ab+bc+ac}{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{ab+bc+ac}{2}}{2}\left(1\right)\)
Theo hệ quả của bđt Cauchy ta có \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{ab+bc+ac}{2}}{2}\le\dfrac{\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có \(\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab}{2\sqrt{a}}+\dfrac{bc}{2\sqrt{b}}+\dfrac{ac}{2\sqrt{c}}\right)\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b=c=1\)
23 tháng 6 2017
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
\(a^2+\dfrac{1}{4}\ge a\)
\(b^2+\dfrac{1}{4}\ge b\)
\(c^2+\dfrac{1}{4}\ge c\)
Cộng theo vế suy ra đpcm
Xét hiệu:
\(a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4}-a-b-c\)
\(=a^2+b^2+c^2+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-a-b-c\)
\(=\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\dfrac{1}{4}\right)\)
\(=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)