Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)\(;b^2+1\ge2\sqrt{b^2\cdot1}=2b\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2}\left(ab+b+1\right)\left(1\right)\). Tương tự ta có:
\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2}\left(bc+c+1\right)\left(2\right);\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(ac+a+1\right)\left(3\right)\)
Cộng theo vế của (1);(2) và (3) ta có:
\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}\) (vì abc=1)
Suy ra Đpcm. Dấu "=" khi a=b=c=1
Ta có: \(\left\{\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+1\ge2b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2ab+2b+2}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự ta có:\(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\\\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}+\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}+\frac{1}{2\left(ac+a+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{a^2bc+abc+ac}+\frac{a}{abc+ac+a}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{ac+a+1}+\frac{a}{ac+a+1}+\frac{1}{ac+a+1}\right)\left(abc=1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac+a+1}{ac+a+1}\right)=\frac{1}{2}\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix}abc=1\\a=b=c\\a,b,c>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c=1\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có
\(P^2\le3\left(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\right)\)
Áp dụng bđt cô si, ta có
\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)
tương tự với mấy cái kia =>\(P^2\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+a}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
mà với abc =1, thì bạn sẽ chứng minh được \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)
phân thức thứ 1 để nguyê, phân thức thứ 2 nhân với ab, phân thức thứ 3 nhân với b, rồi chỗ napf có abc thì thay abc=1
thì bạn sẽ chứng minh được cái kia=1
=>\(P\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)
dâu = xảy ra <=>a=b=c=1
Dễ thấy theo AM - GM :
\(\frac{1}{\sqrt{a^2+2b^2+3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(a^2+b\right)+\left(b^2+1\right)+2}}\le\frac{1}{\sqrt{2ab+2b+2}}\)
\(\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{3}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{1}{\sqrt{b^2+2c^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{3}\right);\frac{1}{\sqrt{c^2+2a^2+3}}\le\frac{\sqrt{6}}{4}\left(\frac{1}{ca+a^2+1}+\frac{1}{3}\right)\)
Cộng lại ta sẽ có đpcm
Vì dễ thấy \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\) với abc=1
\(a^2+2b^2+3=a^2+b^2+b^2+1+2\ge2ab+2b+2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)=\frac{1}{2}\)
(Đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\) khi \(abc=1\) bạn tự chứng minh, mất khoảng 2 dòng)
+ \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}=\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\) . Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=1\)
+ Tương tự : \(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\). Dấu "=" \(\Leftrightarrow b=c=1\)
\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\). Dấu "=" \(c=a=1\)
Do đó : \(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{abc\cdot b+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab+b+1}+\frac{b}{ab+b+1}\right)=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Hm hình như bài này t làm 1 lần rồi mà sao nó ko hiển thị lên ở phần câu hỏi tương tự nhỉ ??
Ta có: \(a^2+1\ge2a\)
\(\Leftrightarrow a^2+2b+3\ge2\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+2b+3}\le\frac{a}{2\left(a+b+1\right)}\)
Tương tự rồồi cộng theo vế ta được:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\right)\)
Ta cần chứng minh \(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\le1\)
\(\Leftrightarrow-\left(\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\right)\le-2\)
\(\Leftrightarrow\frac{b+1}{a+b+1}+\frac{c+1}{b+c+1}+\frac{a+1}{c+a+1}\ge2\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT=\frac{\left(b+1\right)^2}{\left(a+b+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{\left(c+1\right)^2}{\left(b+c+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{\left(a+1\right)^2}{\left(c+a+1\right)\left(a+1\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca+3}\)
\(=\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2+6\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+9\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c+3\right)^2}{\frac{1}{2}\left(a+b+c+3\right)^2}=2\)
Dấu "=" <=> a=b=c=1
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)