K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

15 tháng 12 2017

Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(\sqrt{4a+1}\le\frac{4a+1+1}{2}=2a+1\)

\(\sqrt{4b+1}\le\frac{4b+1+1}{2}=2b+1\)

\(\sqrt{4c+1}\le\frac{4c+1+1}{2}=2c+1\)

\(\Rightarrow\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4b+1}\le2\left(a+b+c\right)+3=5\)(đpcm)

15 tháng 12 2017

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có: 

\(\left(1+1+1\right)\left[\left(\sqrt{4a+1}\right)^2+\left(\sqrt{4b+1}\right)^2+\left(\sqrt{4c+1}\right)^2\right]\)

\(\ge\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4b+1}+\sqrt{4c+1}\right)^2\le3\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow VT^2\le21\)

\(\Rightarrow VT^2< 25\)

\(\Rightarrow VT< 5\)

Vậy \(\sqrt{4a+1}+\sqrt{4c+1}+\sqrt{4b+1}< 5\)

NV
9 tháng 8 2021

Ta có:

\(\left(\sqrt{a}.\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{4a+3bc}}+\sqrt{b}\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{4b+3ac}}+\sqrt{c}\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{4c+3ab}}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\right)\)

\(=2\left(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\right)\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{a}{4a+3bc}+\dfrac{b}{4b+3ac}+\dfrac{c}{4c+3ab}\le\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4a}{4a+3bc}+\dfrac{4b}{4b+3ac}+\dfrac{4c}{4c+3ab}\le2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3bc}{4a+3bc}+\dfrac{3ac}{4b+3ac}+\dfrac{3ab}{4c+3ab}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{4a+3bc}+\dfrac{ac}{4b+3ac}+\dfrac{ab}{4c+3ab}\ge\dfrac{1}{3}\)

Thật vậy, ta có:

\(VT=\dfrac{\left(bc\right)^2}{4abc+3\left(bc\right)^2}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{4abc+3\left(ac\right)^2}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{4abc+3\left(ab\right)^2}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab\right)^2+3\left(bc\right)^2+3\left(ca\right)^2+12abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab\right)^2+3\left(bc\right)^2+3\left(ca\right)^2+6abc\left(a+b+c\right)}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)^2}=\dfrac{1}{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=...\)

11 tháng 12 2019

ai làm đi

13 tháng 8 2020

Bạn tốt qá he

13 tháng 8 2020

\(x,y \geq 0\)

11 tháng 7 2020

hgggggg

17 tháng 10 2019

Ta có: \(\left(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\right)^2\)\(\left(c+b-c\right)\left(a-c+c\right)=ab\)

\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\)\(\sqrt{ab}\)

Mình nghĩ đề phải là như vậy

30 tháng 4 2020

bạn làm được câu 1 chưa ạ chụp cho mình