Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: 4b2c2-(b2+c2-a2)2 luôn luôn thuộc dương
ta có : 4b^2c^2=(2bc)^2 ; a,b,c >0
<=> (2bc-b^2-c^2+a^2)(2bc+b^2+c^2-a^2)
,=. (-(b-c)^2+a^2)((b+c)^2-a^2)
= (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)
\(4a^2b^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=\left(2ab-a^2-b^2+c^2\right)\left(2ab+a^2+b^2-c^2\right)\)
\(=\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\left(\left(a+b\right)^2-c^2\right)\)
\(=\left(c-a+b\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)>0\)
(bất đẳng thức tam giác)
\(\Rightarrow\) \(4a^2b^2>\left(a^2+b^2-c^2\right)^2\)
Thấy tao siêu chưa, mới có lớp 6 mà làm được toán lớp 8 nha ( tick nhiều nhiều nha)
thằng dinh quoc anh siêu cái gì! Mày nhờ chị mày làm hộ mà còn vênh vênh váo váo!
\(\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2\)
\(=\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-\left(2ab\right)^2\)
\(=\left[a^2+b^2-c^2-2ab\right]\left[a^2+b^2-c^2+2ab\right]\)
\(=\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\)
Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác, ta suy ra:
\(a-b-c< 0,a-b+c>0,a+b-c>0\)
Mặt khác \(a,b,c>0\Rightarrow a+b+c>0\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2=\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)< 0\)
\(VT=\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2\)
\(VT=\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)\)
\(VT=\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right].\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(VT=\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
Theo bđt tam giác ta có :
\(a-b< c\)\(\Leftrightarrow\)\(a-b-c< 0\) \(\left(1\right)\)
\(a+b>c\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b-c>0\) \(\left(2\right)\)
\(a+c>b\)\(\Leftrightarrow\)\(a-b+c>0\) \(\left(3\right)\)
\(a+b+c>0\) ( vì độ dài không có âm ) \(\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(VT< 0\) ( vì tích gồm 1 số âm và 3 số dương )
Vậy với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác ta có \(\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\)
Chúc bạn học tốt ~