Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(T=\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)^{2019}+\left(3-\sqrt{5}\right)^{2019}}{2^{2019}}\)
Ta có \(3+\sqrt{5}=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{2}\)
\(3-\sqrt{5}=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow T=\frac{\left[\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{2}\right]^{2019}+\left[\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\right]^{2019}}{2^{2019}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{4038}+\left(\sqrt{5}-1\right)^{4038}}{2^{4038}}\)
Lại có \(\left(\sqrt{5}+1\right)^{4038}=\left[\left(\sqrt{5}+1\right)^3\right]^{1346}⋮\left(\sqrt{5}+1\right)^3\)
Tương tự \(\left(\sqrt{5}-1\right)^{4038}⋮\left(\sqrt{5}-1\right)^3\)
\(\Rightarrow T⋮\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^3+\left(\sqrt{5}-1\right)^3}{2^{4038}}=\frac{\left(2\sqrt{5}\right)\left[\left(\sqrt{5}+1\right)^2-\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)^2\right]}{2^{2038}}\)
\(\Rightarrow T⋮2\sqrt{5}\Rightarrow T⋮5\)
Vậy T chia cho 5 dư 0
P/s : Không biết làm đúng không nữa :)
Giải bài toán tổng quát luôn nha.
Chứng minh:
\(T=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}\equiv3\left(mod5\right)\) với n không âm
Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{3+\sqrt{5}}{2}=a\\\frac{3-\sqrt{5}}{2}=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow T=a^{2n+1}+b^{2n+1};a+b=3;ab=1;a^2+b^2=7\)
Dùng phương pháp quy nạp chứng minh:
Ta thấy với \(\hept{\begin{cases}n=0\Rightarrow T=3\equiv3\left(mod5\right)\\n=1\Rightarrow T=18\equiv3\left(mod5\right)\end{cases}}\)
Giả sử nó đúng đến \(n=k\)hay
\(\hept{\begin{cases}a^{2k-1}+b^{2k-1}\equiv3\left(mod5\right)\\a^{2k+1}+b^{2k+1}\equiv3\left(mod5\right)\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)
Ta có:
\(T_{k+1}=a^{2k+3}+b^{2k+3}\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(a^{2k+1}+b^{2k+1}\right)-a^2b^2\left(a^{2k-1}+b^{2k-1}\right)\equiv7.3-1.3\equiv3\left(mod5\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Áp dụng vào bài toán ta thấy \(2019\)có đạng \(2n+1\)
Vậy nên bài toán ban đầu sẽ có số dư là 3 khi chia cho 5
Xin lỗi mình không thể giúp bạn giải bài này.Vì mình mới học lớp 5.
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{13x-5}=a\\\sqrt[3]{6x-5}=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow6a^3-13b^3=6.\left(13x-5\right)-13.\left(6x-5\right)=78x-30-78x+65=35\)
Kết hợp giả thuyết ta có hệ sau
\(\hept{\begin{cases}a=1+b\\6a^3-13b^3=35\end{cases}}\)
Thế pt (1) vào pt(2) ta được \(\left(1+b\right)^3-13b^3=35\)
Làm nốt
x+my=5 <=> x= 5-my thay vào (2)
2(5-my) +(m2-m)y=10 <=> (m2-3m)y=0 <=> y=0 => x= 5-0=5
vậy (x;y) = (5;0)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Tính bán kính của đường tròn đó, biết BD = 4 cm, DC = 6cm.
Khó thực sự :(
\(\hept{\begin{cases}\frac{y}{2}-\frac{\left(x+y\right)}{5}=0,1\\\frac{y}{5}-\frac{\left(x-y\right)}{2}=0.1\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{\left(x+y\right)}{5}=\frac{y-0,2}{2}\\\frac{y}{5}-\frac{\left(x-y\right)}{2}=0,1\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x+y=\frac{5y-1}{2}\\\frac{y}{5}-\frac{\left(x-y\right)}{2}=0,1\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x=\frac{5y-1}{2}-\frac{2y}{2}=\frac{3y-1}{2}\\\frac{y}{5}-\frac{\left(x-y\right)}{2}=0,1\end{cases}}\)
Ta thay x vào biểu thức \(\frac{y}{5}-\frac{\left(x-y\right)}{2}\)ta đc
\(\frac{y}{5}-\frac{\left(\frac{3y-1}{2}-y\right)}{2}=0,1\)
\(\frac{3y-1-2y}{2}=\frac{y}{5}-\frac{0,5}{5}\)
\(\frac{y-1}{2}=\frac{y-0,5}{5}\)
\(5y-5=2y-1\Leftrightarrow5y-5-2y+1=0\Leftrightarrow3y-4=0\Leftrightarrow y=\frac{4}{3}\)
Thay y vào biểu thức \(\frac{3y-1}{2}\)ta đc
\(x=\frac{3.\frac{4}{3}-1}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(\left\{x;y\right\}=\left\{\frac{3}{2};\frac{4}{3}\right\}\)
a) \(\sqrt{39-12\sqrt{3}}+\sqrt{21-12\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{36-12\sqrt{3}+3}+\sqrt{9-12\sqrt{3}+12}\)
\(=\sqrt{\left(6-\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(3-\sqrt{12}\right)^2}\)
\(=6-\sqrt{3}+\sqrt{12}-3=3+\sqrt{3}\)
b) \(\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}\)
\(=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}+\sqrt{5+2\sqrt{5}+1}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}\)