Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Cách lầy lội nhất khai triển hết ra :|
\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=\left(a^2c^2+b^2c^2\right)+\left(b^2d^2+a^2d^2\right)=c^2\left(a^2+b^2\right)+d^2\left(a^2+b^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
a) \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
Biến đổi vế traias ta có:
\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2=VP\)
=>đpcm
b)Có: \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow-a^2d^2+2abcd-b^2c^2\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(ad-bc\right)^2\le0\), luôn luôn đúng
=>đpcm
a)Ta có:VT=(ac+bd)2+(ad-bc)2=a2c2+b2d2+2acbd+a2d2+b2c2-2adbc
=a2c2+b2c2+b2d2+a2d2
=(a2+b2)(c2+d2)(ĐPCM)
b)theo câu a) ta có:(ac+bd)2 ≤(a2+b2)(c2+d2)(vì (ad-bc)2 ≥0)
Dấu bằng xảy ra khi:ad=bc
Bài làm:
a) Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2d^2+b^2c^2\right)\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
=> đpcm
b) CM bất đẳng thức Bunyakovsky chắc được dùng Cauchy đấy nhỉ!
Ta có: \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: \(a^2d^2+b^2c^2\ge2abcd\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge a^2c^2+2abcd+b^2d^2=\left(ac+bd\right)^2\)
=> đpcm
Mấy bài này cứ phá hết ra là xong thôi bạn
\(a,\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(b,\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2-2abcd+c^2d^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-cd\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Dấu "=" khi ab = cd
a) nhân tung ra rồi rút gọn là OK
b) Áp dụng câu a
Vì (ad-bc)2>/ 0 => dpcm
Ta có: (ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2) <=> a^2*c^2+2*a*b*c*d+b^2*d^2<=a^2*c^2+a^2*d^2+b^2*c^2+b^2*d^2. <=> 2*a*b*c*d<=a^2*d^2+b^2*c^2. <=> 0<=(ad+bc)^2. (Luôn đúng với mọi a, b, c, d). => đccm. ( dấu <= là bé hơn hoặc bằng) tick cho em nha
a) (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
Ta có:
VT = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 -2abcd + b2c2 = (a2c2 + a2d2) + (b2d2 + b2c2) = a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) = (a2 + b2)(c2 + d2) = VP
b)Ta có:
(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
<=> (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)²
<=> (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd
<=> (ad)² - 2abcd + (bc)² ≥ 0
<=> (ad - bc)² ≥ 0
Dấu " = " xảy ra khi
a) phân tích 2 vế ra là thấy
b)chuyển vế xong phân tích ra chứng minh nó lớn hơn hoặc băng 0 là xong