Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(a,b,c>\frac{25}{4}\)(gt) nên suy ra \(2\sqrt{a}-5>0,2\sqrt{b}-5>0,2\sqrt{c}-5>0\)
Áp dụng bđt cô - si cho 2 số không âm, ta được:
\(\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+2\sqrt{b}-5\ge2\sqrt{a}\)
\(\frac{b}{2\sqrt{c}-5}+2\sqrt{c}-5\ge2\sqrt{b}\)
\(\frac{c}{2\sqrt{a}-5}+2\sqrt{a}-5\ge2\sqrt{c}\)
Cộng từng vế của các bđt trên, ta được:
\(\text{ Σ}_{cyc}\frac{a}{2\sqrt{b}-5}+\text{ Σ}_{cyc}\left(2\sqrt{b}\right)-15\ge\text{ Σ}_{cyc}\left(2\sqrt{a}\right)\)
Suy ra \(\text{}\text{}\text{Σ}_{cyc}\frac{a}{2\sqrt{b}-5}\ge15\)
hay \(Q\ge15\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=25\))
Ai phát hiện sai đề thì sửa và làm giúp mk hộ với, cảm ơn :) (chỉ cần làm tóm tắt thôi)
2) Do \(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}=2\\\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+1}=2-\left(\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\right)\)
=\(\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\dfrac{1}{a+1}=\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}\) \(\ge\)\(2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự ta được
\(\dfrac{1}{b+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ca}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}}\)
\(\dfrac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)
Nhân vế theo vế của 3 BĐT cùng chiều ta được
\(\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)\(\ge\dfrac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)
\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
\(a,\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^2}.\sqrt{11+6\sqrt{2}}\)
\(=|\sqrt{2}-3|.\sqrt{9+6\sqrt{2}+2}\)
\(=(3-\sqrt{2}).\left(\sqrt{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}\right)\)
\(=\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)\)
\(=9-2=7\)
\(b,\sqrt{\left(\sqrt{3}-3\right)^2}.\sqrt{\frac{1}{3-\sqrt{3}}}\)
\(=\left(3-\sqrt{3}\right).\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3-\sqrt{3}}}\)
\(=\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{3-\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{3-\sqrt{3}}\)
\(c,-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{\left(a-b\right)^3.b^5}{c}}.\frac{9}{4}\sqrt{\frac{c^3}{2\left(a-b\right)}}.\sqrt{98b}\)
\(=-\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{\left(a-b\right)^3.b^5}}{\sqrt{c}}.\frac{9}{4}.\frac{\sqrt{c^3}}{\sqrt{2\left(a-b\right)}}.7\sqrt{2b}\)
\(=-\frac{2}{3}.\frac{\left(a-b\right)b^2\sqrt{\left(a-b\right)b}}{\sqrt{c}}.\frac{9}{4}.\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2\left(a-b\right)}}.7\sqrt{2b}\)
\(=-\frac{2}{3}.\frac{9}{4}.7.\frac{\left(a-b\right).b^2\sqrt{\left(a-b\right)b}}{\sqrt{c}}.\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2\left(a-b\right)}}.\sqrt{2b}\)
\(=-\frac{21}{2}.\left(a-b\right).b^2\sqrt{b}.c.\sqrt{b}\)
\(=\frac{-21}{2}.\left(a-b\right).b^3.c\)
\(d,\left(\sqrt{6}-3\sqrt{3}+5\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{8}\right).2\sqrt{6}\)
\(=\left(\sqrt{6}-3\sqrt{3}+5\sqrt{2}-\frac{1}{2}.2\sqrt{2}\right).2\sqrt{6}\)
\(=\left(\sqrt{6}-3\sqrt{3}+5\sqrt{2}-\sqrt{2}\right).2\sqrt{6}\)
\(=\left(\sqrt{6}-3\sqrt{3}+4\sqrt{2}\right).2\sqrt{6}\)
\(=2.6-18\sqrt{2}+16\sqrt{3}\)
\(=12-18\sqrt{2}+16\sqrt{3}\)
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Câu 1:
a/ Biểu thức không tồn tại GTNN.
Bạn cứ thử với vài giá trị âm có trị tuyệt đối lớn, ví dụ \(a=-10^3\) và \(b=-\frac{1}{10^3}\) sẽ thấy
b/
\(x^3+3x^2+3x+1+y^3+3y^2+3y+1+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+\left(y+1\right)^3+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(y+1\right)\right]+x+y+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left[\left(x+1-\frac{y+1}{2}\right)^2+\frac{3\left(y+1\right)^2}{4}+1\right]=0\)
\(\Rightarrow x+y=-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\y< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow-x+\left(-y\right)=2\)
\(M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\left(\frac{1}{-x}+\frac{1}{-y}\right)\le-\frac{4}{-x+\left(-y\right)}=-\frac{4}{2}=-2\)
\(\Rightarrow M_{max}=-2\) khi \(x=y=-1\)
1c/
\(T=\sum\frac{a}{2a+a+b+c}=\frac{1}{25}\sum\frac{a\left(2+3\right)^2}{2a+a+b+c}\le\frac{1}{25}\sum\left(\frac{4a}{2a}+\frac{9a}{a+b+c}\right)\)
\(\Rightarrow T\le\frac{1}{25}\left(6+\frac{9\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\right)=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)
\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Câu 1/ phân tích nhân tử là xong nên không giải.
Câu 2/ Ta có:
\(Q=\dfrac{a}{2\sqrt{b}-5}+\dfrac{b}{2\sqrt{c}-5}+\dfrac{c}{2\sqrt{a}-5}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(2\sqrt{b}-5\right)\left(2\sqrt{c}-5\right)\left(2\sqrt{a}-5\right)}}\)
\(=\dfrac{3\sqrt[3]{125.abc}}{\sqrt[3]{\left(2\sqrt{b}-5\right).5.\left(2\sqrt{c}-5\right).5.\left(2\sqrt{a}-5\right).5}}\)
\(\ge\dfrac{3\sqrt[3]{125abc}}{\sqrt[3]{\dfrac{\left(2\sqrt{a}-5+5\right)^2}{4}.\dfrac{\left(2\sqrt{b}-5+5\right)^2}{4}.\dfrac{\left(2\sqrt{c}-5+5\right)^2}{4}}}\) (Vì \(a,b,c>\dfrac{25}{4}\))
\(=\dfrac{3\sqrt[3]{125abc}}{\sqrt[3]{abc}}=15\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=25\)
giải c1 đi. tớ ko phân tích đc