Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(u_3=u_2^2-u_2+2=4\)
\(S_1=1=\left(2-1\right)^2=\left(u_2-1\right)^2\)
\(S_2=2.5-1=9=\left(4-1\right)^2=\left(u_3-1\right)^2\)
Dự đoán \(S_n=\left(u_{n+1}-1\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:
- Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng bên trên với \(S_1;S_2\))
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)
Hay \(S_k=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)-1=\left(u_{k+1}-1\right)^2\)
Ta cần chứng minh:
\(S_{k+1}=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1=\left(u_{k+2}-1\right)^2\)
Thật vậy:
\(S_{k+1}=\left[\left(u_{k+1}-1\right)^2+1\right]\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)
\(=\left(u_{k+1}^2-2u_{k+1}+2\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)
\(=\left(u_{k+2}-u_{k+1}\right)\left(u_{k+2}+u_{k+1}-1\right)-1\)
\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}-u_{k+1}^2+u_{k+1}-1\)
\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}+2-u_{k+2}-1\)
\(=\left(u_{k+2}-1\right)^2\) (đpcm)
1) Có \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}u^2_n-2u_n+2=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2\right)^2\) (1)
+) CM \(u_n>2\) (n thuộc N*)
n=1 : u1= 5/2 > 2 (đúng)
Giả sử n=k, uk > 2 (k thuộc N*)
Ta cần CM n = k + 1. Thật vậy ta có:
\(u_{k+1}=\dfrac{1}{2}u^2_k-u_k+2=\dfrac{1}{2}\left(u_k-2\right)^2+u_k\) (đúng)
Vậy un > 2 (n thuộc N*) (2)
Từ (1) (2) => un+1 - un > 0, hay un+1 > un
=> (un) là dãy tăng => \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=+\infty\)
2) \(2u_{n+1}=u^2_n-2u_n+4\)
\(\Leftrightarrow2u_{n+1}-4=u^2_n-2u_n\)
\(\Leftrightarrow2\left(u_{n+1}-2\right)=u_n\left(u_n-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2}{u_n\left(u_n-2\right)}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_n}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(S=\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{u_2}+...+\dfrac{1}{u_n}\)
\(=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_2-2}+\dfrac{1}{u_2-2}+...-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(=2-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S=2\)
Theo tính chất của cấp số cộng, ta có \(u_1+u_4=u_2+u_3\)
Do đó : \(\Leftrightarrow\left(x-u_1\right)\left(x-u_2\right)\left(x-u_3\right)\left(x-u_4\right)=\left[x^2-\left(u_1-u_4\right)x+u_1u_4\right]\left[x^2-\left(u_2-u_3\right)x+u_2u_3\right]\)(*)
Đặt \(t=x^2-\left(u_1+u_4\right)x=x^2-\left(u_2+u_3\right)x\)
Khi đó (*) \(\Leftrightarrow f\left(t\right)=\left(t+u_1u_4\right)\left(t+u_2u_3\right)+9=t^2+\left(u_1u_4+u_2u_3\right)t+u_1u_4u_2u_3+9\)
Với \(\Delta_t=\left(u_1u_4+u_2u_3\right)^2-4u_1u_4u_2u_3-36=\left(u_1u_4+u_2u_3\right)^2-36\)
Rõ ràng \(\left|u_1u_4-u_2u_3\right|\le6\Rightarrow\Delta_t<0\leftrightarrow f\left(t\right)>0\)với mọi t
<=> A có nghĩa với mọi x
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\\frac{u_n}{n}=\frac{u_{n-1}}{n-1}+1\end{matrix}\right.\)
Đặt \(v_n=\frac{u_n}{n}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=1\\v_n=v_{n-1}+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow v_n\) là CSC với công sai \(d=1\)
\(\Rightarrow v_n=1+\left(n-1\right).1=n\)
\(\Rightarrow\frac{u_n}{n}=n\Rightarrow u_n=n^2\)
Câu b có vẻ đề sai, số hạng cuối không thể là \(u_n\) mà phải là 1 số hữu hạn ví dụ \(u_{2016}\) gì đó
Hoặc nếu nó là \(u_n\) thì đề sẽ là "tìm n lớn nhất sao cho..."
Dù sao từ tổng: \(\sum u_n=\sum n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) có thể dễ dàng giải được khi đề bài chính xác
Câu 1:
\(S_8=u_1+u_2+u_3+...+u_8\)
\(=\dfrac{u_1\left(1-q^8\right)}{1-q}=\dfrac{2048\cdot\left(1-\left(\dfrac{5}{4}\right)^8\right)}{1-\dfrac{5}{4}}\)
\(=\dfrac{325089}{8}\)
2: \(S_{10}=u_1+u_2+...+u_9+u_{10}\)
=>\(S_{10}=\dfrac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\dfrac{-3\cdot\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}\)
\(=-6\cdot\left(1-\dfrac{1}{2^{10}}\right)=-6+\dfrac{6}{2^{10}}=-\dfrac{3069}{512}\)
1:
\(S_{10}=\dfrac{u_1\cdot\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\dfrac{-3\cdot\left(1-\dfrac{1}{1024}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}\)
\(=-6\cdot\dfrac{1023}{1024}=\dfrac{-3069}{512}\)
2:
\(\left\{{}\begin{matrix}u1=6\\u2=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1=6\\u1\cdot q=18\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1=6\\q=3\end{matrix}\right.\)
\(S_{12}=\dfrac{u_1\left(1-q^{12}\right)}{1-q}=\dfrac{6\cdot\left(1-3^{12}\right)}{1-3}=-3\cdot\left(1-3^{12}\right)\)
\(=3^{13}-3\)
1: \(S_{99}=\dfrac{99\cdot\left[2\cdot6+98\cdot\left(-2\right)\right]}{2}=99\cdot\left(6-98\right)\)
=-9108
2: \(S_{100}=\dfrac{100\cdot\left(2\cdot\left(-2\right)+99\cdot4\right)}{2}=50\left(-4+99\cdot4\right)\)
=50*392
=19600