Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
hình như bài này có trong đề thi hsg toán 9 tp ha nôi 2016 hay sao ý ^.^
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đức Hùng hình như áp dụng sai ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi
MAx
ó thể thấy rằng:
xy + yz + 2zx = y(x + z) + 2zx <= lyllx + zl + 2zx (1).
Lại có lx + zl <= căn[2(x^2 + z^2)] = căn[2(1 - y^2)] và 2zx <= z^2 + x^2 = 1 - y^2; từ đây suy ra
xy + yz + 2zx <= lylcăn[2(1 - y^2)] + 1 - y^2 (2).
Tiếp đến, ta sẽ chứng minh lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 + 1/2 (3), từ đó suy ra kết quả của bài toán. Thật vậy, ta có
lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 - 1/2 <=> lylcăn[2(1 - y^2)] <= y^2 + căn(3)/2 - 1/2
<=> 2y^2(1 - y^2) <= y^4 + (căn(3) - 1)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> 3y^4 - (3 - căn(3))y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> 3y^4 - 2căn(3)(căn(3)/2 - 1/2)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2
<=> (căn(3)y^2 - căn(3)/2 + 1/2)^2 >= 0.
Đẳng thức xảy ra khi y = căn[1/2 - 1/2căn(3)] hoặc y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)].
Từ (1),(2),(3) suy ra
xy + yz + 2zx <= căn(3)/2 + 1/2.
Dấu = xảy ra khi dấu = của (1),(2),(3) cùng xảy ra, tức là x = z = (1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = căn[1/2 - 1/2căn(3)], hoặc x = z = (-1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)].
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1+2\left(ab+bc+ca\right).\)
\(\Rightarrow A=\left(ab+bc+ca\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)với mọi a,b,c
Vậy A nhỏ nhất bằng -1/2 khi a+b+c =0
Ta có : \((x-\dfrac{1}{3})^2+(y-\dfrac{1}{3})^2+(z-\dfrac{1}{3})^2>=0\)
\(=>x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}\ge0\)
\(=>x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>x+y+z\le2\)
Do đó : \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca).\)
\(=>A=(ab+ac+bc)=\dfrac{1}{2}(a+b+c)^2-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}.2^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Ta có \(y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}\Leftrightarrow2y^2+2yz+2z^2=2-3x^2\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)=2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2=2-\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2\le2\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le B\le\sqrt{2}\)
Vậy để B đạt giá trị lớn nhất thì \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Để B đạt giá trị nhỏ nhất thì\(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{-\sqrt{2}}{3}\)
Vậy GTLN của B là \(\sqrt{2}\) và GTNN của B là \(-\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT Cô - Si cho các số dương , ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\x^2+z^2\ge2xz\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\ge\dfrac{9}{3+x^2+y^2+z^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Dễ dàng chứng minh được BĐT đơn giản sau
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Áp dụng vào bài với \(\left(\dfrac{xy}{z};\dfrac{yz}{x};\dfrac{zx}{y}\right)=\left(a;b;c\right)\), ta được:
\(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)
\(\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
MinC \(=\sqrt{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)