Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm:
Mk cx ko chắc nx nha !
\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)
\(=3-\left(\frac{a+b}{a+b+1}+\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\right)\)(mk không biết cách viết nên ns nhé, tổng trong ngoặc { m, là
cái Tổng trong ngoặc dưới tổng có một dấu ngoặc nhọn, dưới dấu ngặc nhọn có M}
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(M=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)\left(b+c+1\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(c+a\right)\left(c+a+1\right)}\)\(\ge\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+1\right)\left(b+c\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a\right)\left(c+a+1\right)}\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)+2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=2\)
(Do \(a+b+c\le ab+bc+ca\))
Vậy \(M\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}=3-M\le1\)(Đpcm)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c=1
Chép bài à bn tại sao \(A=\frac{1}{a+b+1}\) thế 2 ở bên kia đ?
Hơn nữa bất đẳng thức bn sai bét rồi người ta bảo bất đẳng thức bên kia mà sao bạn cho tổng luôn
3- lấy đâu ra kết quả phải là \(2^2\)chứ
Nếu ghi sai đề bài là bn sai cả bài k chắc đ :)
Ngoài ra các tổng bên ngoặc k có 4 hay 2 gì hết sai hết r nhé
12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1
13. Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)( BĐT cosi)
=> \(1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
=> \(a+b+c\ge6\)
Ta có \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
=> \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự \(\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\),,\(\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a\)
Cộng 3 BT trên ta có
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)
Khi đó \(2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...\)
=> \(2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....\)
Xét \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
<=> \(3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)(luôn đúng )
=> \(2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4\)
=> \(P\ge2\)
Vậy \(MinP=2\)khi a=b=c=2
Lưu ý : Chỗ .... là tương tự
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Rightarrow abc\ge\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(P\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+bc+c^2\right)+b\left(c^2+ca+a^2\right)+c\left(a^2+ab+b^2\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{9}{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{ab+bc+ca}+\dfrac{abc}{ab+bc+ca}=\dfrac{3+abc}{ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3+\dfrac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3}{ab+bc+ca}=\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Dự đoán xảy ra cực trị khi a = b = c =2. Khi đó P =\(\frac{3\sqrt{2}}{4}\). Ta sẽ chứng minh đó là MAX của P
Ta có: \(\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3-\left(a+b+c\right)\ge abc-\left(a+b+c\right)=2\)
Đặt a + b +c = t>0 suy ra \(\frac{t^3-27t}{27}\ge2\Leftrightarrow t^3-27t\ge54\Leftrightarrow t^3-27t-54\ge0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t\ge6\\t=-3\left(L\right)\end{cases}}\). Do vậy \(t\ge6\) (em làm tắt xiu nhé,dài quá)
\(P=\Sigma_{cyc}\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\le\sqrt{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Giờ đi chứng minh \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\le\frac{3}{4}\)
Em cần suy ra nghĩ tiếp:(
Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu bằng việc tìm giá trị của a + b + c và ab + bc + ca.
Theo đề bài, ta có: a.b.c = 1
Đặt S = a + b + c và P = ab + bc + ca. Ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: (a^2 + b^2 + c^2) - (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = 8(a + b + c) - 8(ab + bc + ca) (a^2 + b^2 + c^2) - (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = 8S - 8P
Để đơn giản hóa công thức, ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với a^2b^2c^2: (a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2) - (a^2b^2c^2)(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = 8(a^2b^2c^2)(S - P)
Sau khi nhân và rút gọn, ta được: (a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4) - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = 8(a^2b^2c^2)(S - P)
Do a.b.c = 1, ta có: a^2b^2c^2 = 1
Thay lại vào phương trình trên, ta có: (a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4) - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = 8(S - P)
Rút gọn các thành phần, ta được: a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 = 8(S - P)
Ta có thể viết lại đẹp hơn bằng cách nhân 2 vào cả hai vế: 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2) = 16(S - P)
Rút gọn, ta được: 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2) = 16S - 16P
Từ đó, ta có: 16P - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)
Chú ý rằng: P = ab + bc + ca S = a + b + c
Tiếp theo, ta sẽ xem xét biểu thức P = 1/a-1 + 1/b-1 + 1/c-1. Ta có thể viết lại biểu thức này như sau: P = (1/a + 1/b + 1/c) - 3
Ta biết rằng abc = 1, do đó: 1/a + 1/b + 1/c = ab + bc + ca
Thay vào biểu thức P, ta có: P = (ab + bc + ca) - 3
Như vậy, biểu thức P có thể được thay bằng biểu thức P = P - 3.
Tiếp theo, ta sẽ sử dụng kết quả từ phương trình trên để tính giá trị của P.
16P - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)
Thay P = P - 3 vào phương trình trên, ta có: 16(P - 3) - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)
Rút gọn và chuyển thành phương trình bậc hai: 16P - 48 - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)
8P - 24 - 8S = a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2
8P - 8S = a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 + 24
8(P - S) = (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)^2 - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 + 24
Đặt Q = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2, ta có: 8(P - S) = Q^2 - Q - Q + 24
8(P - S) = Q^2 - 2Q + 24
8(P - S) = (Q - 4)^2
Ta có thể viết lại thành phương trình: (P - S) = (Q - 4)^2 / 8
Do đó, giá trị của P - S là bình phương của một số chia cho 8.
Tuy nhiên, chúng ta không có thông tin cụ thể về giá trị của Q, vì vậy không thể tìm ra giá trị chính xác của P - S.
Vì vậy, không thể tính giá trị của biểu thức P = 1/a-1 + 1/b-1 + 1/c-1 chỉ dựa trên thông tin đã cho trong bài toán.