Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt\(\hept{\begin{cases}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{cases}}\)
Khi đó điều kiện đb tương ứng
(x+y+z)3=24+x3+y3+z3(x+y+z)3=24+x3+y3+z3
⇔3(x+y)(x+z)(x+z)=24⇔3(x+y)(x+z)(x+z)=24
⇒3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24⇒3(2a+4b)(2b+4c)(2c+4a)=24
⇒(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1⇒(a+2b)(b+2c)(c+2a)=1
Do đó ta có đpcm
Chúc bạn học tốt!
Câu hỏi của Hoàng Đức Thịnh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi của Hoàng Đức Thịnh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
\(M=a^2+ab+b^2-3a-3b+2001\)
\(\Rightarrow2M=2a^2+2ab+2b^2-6a-6b+4002\)
\(=\left(a^2+2ab+b^2\right)-4\left(a+b\right)+4+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+3996\)
\(=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+3996\ge3996\)
\(\Rightarrow M\ge1998\)
\(GT\Rightarrow\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=3\)
Ta có: \(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}\ge4\sqrt[4]{\frac{1}{a^{12}b^4}}=\frac{4}{a^3b}\)
Tương tự: \(\frac{3}{b^4}+\frac{1}{c^4}\ge\frac{4}{b^3c}\) ; \(\frac{3}{c^4}+\frac{1}{a^4}\ge\frac{4}{c^3a}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3b}+\frac{1}{b^3c}+\frac{1}{c^3a}\le\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=3\)
\(VT=\frac{1}{a^3b+c^2+c^2+1}+\frac{1}{b^3c+a^2+a^2+1}+\frac{1}{c^3a+b^2+b^2+1}\)
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a^3b}+\frac{2}{c^2}+1+\frac{1}{b^3c}+\frac{2}{a^2}+1+\frac{1}{c^3a}+\frac{2}{b^2}+1\right)\)
\(VT\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a^3b}+\frac{1}{b^3c}+\frac{1}{c^3a}+2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+3\right)\)
\(VT\le\frac{1}{16}\left(6+2\sqrt{3\left(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\right)}\right)=\frac{1}{16}\left(6+6\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
chứng minh bđt \(\sqrt{3x^2+2xy+3y^2}\ge\sqrt{2}\left(x+y\right)\)bằng cách bình phương 2 vế
rồi dùng bđt \(3\left(x+y+z\right)\ge\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)là xong nhaaaaaa